La formule du binôme de Newton

Ce que dit la formule

Pour tout entier naturel $n$ et tous nombres réels ou complexes $a$ et $b$ :

• $n$ : l’exposant, un entier naturel ($0, 1, 2, \ldots$).
• $\sum_{k=0}^{n}$ : on additionne les termes obtenus pour $k = 0, 1, \ldots, n$ ; il y en a $n + 1$.
• $\binom{n}{k}$ : le coefficient binomial, qui se lit « $k$ parmi $n$ » et vaut $\frac{n!}{k!\,(n-k)!}$, avec $n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n$ et $0! = 1$.
• $a^{n-k}\, b^{k}$ : dans chaque terme, les exposants de $a$ et de $b$ ont pour somme $n$. Par convention $a^0 = b^0 = 1$, même si $a$ ou $b$ est nul.

Écrite en entier, la formule donne

Pour $n = 2$, c’est l’identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ; pour $n = 3$, $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Les conditions comptent. L’exposant doit être un entier naturel : pour $n = -1$ ou $n = \frac{1}{2}$, la somme finie n’a pas de sens, et il faut une série infinie (la formule du binôme généralisée, valable sous conditions). Il faut aussi que $ab = ba$ : pour des matrices qui ne commutent pas, $(A+B)^2$ vaut $A^2 + AB + BA + B^2$, qui diffère en général de $A^2 + 2AB + B^2$.

Un exemple

Développer $(x + 2)^4$. On prend $a = x$, $b = 2$, $n = 4$. Les coefficients binomiaux pour $n = 4$ sont $1, 4, 6, 4, 1$.

1. $k = 0$ : $1 \times x^4 = x^4$.
2. $k = 1$ : $4 \times x^3 \times 2 = 8x^3$.
3. $k = 2$ : $6 \times x^2 \times 2^2 = 24x^2$.
4. $k = 3$ : $4 \times x \times 2^3 = 32x$.
5. $k = 4$ : $1 \times 2^4 = 16$.

Donc $(x + 2)^4 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16$. Vérification pour $x = 1$ : $3^4 = 81$ et $1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81$.

Un calcul approché. $1{,}01^{10} = (1 + 0{,}01)^{10} = 1 + 10 \times 0{,}01 + 45 \times 0{,}01^2 + 120 \times 0{,}01^3 + \cdots$. Les quatre premiers termes donnent 1,104 62, et la valeur exacte est environ 1,104 622 125 : les termes suivants sont minuscules.

Deux conséquences. Avec $a = b = 1$, on obtient $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$ : un ensemble à $n$ éléments a $2^n$ sous-ensembles. Avec $a = 1$ et $b = -1$, on obtient, pour $n \geq 1$, $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} = 0$.

Pourquoi c’est vrai

Par dénombrement. $(a + b)^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $(a + b)$. Pour développer, on choisit dans chaque facteur soit $a$, soit $b$, on multiplie les $n$ lettres choisies, et l’on additionne les $2^n$ produits ainsi obtenus. Un choix qui prend $b$ dans exactement $k$ facteurs, et $a$ dans les $n - k$ autres, donne le produit $a^{n-k} b^k$ (c’est ici qu’on utilise $ab = ba$ pour regrouper les lettres). Le nombre de tels choix est le nombre de façons de désigner les $k$ facteurs qui fournissent $b$ parmi les $n$, c’est-à-dire $\binom{n}{k}$. En regroupant, on obtient exactement la formule.

Par récurrence. On peut aussi écrire $(a+b)^{n} = (a+b)\,(a+b)^{n-1}$ et développer : les coefficients obtenus suivent la règle du triangle de Pascal, $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$. Cette démonstration est détaillée sur la page du triangle de Pascal.

Les programmes de l’atelier vérifient la formule en développant $(a+b)^n$ pas à pas jusqu’à $n = 100$ en nombres entiers exacts, en énumérant les $2^n$ choix jusqu’à $n = 16$, sur 3 000 cas exacts avec des entiers jusqu’à un million, sur 10 000 cas réels et 3 000 cas complexes tirés au hasard.

Un peu d’histoire

Des cas particuliers sont très anciens : le cas $n = 2$ figure, sous forme géométrique, dans les Éléments d’Euclide. Les coefficients binomiaux apparaissent en Inde comme nombres de combinaisons, et le commentateur Halayudha (Xe siècle) décrit un procédé équivalent au triangle arithmétique. Le mathématicien persan al-Karaji (953-1029) aurait écrit un livre, aujourd’hui perdu, contenant la formule et une table des coefficients ; un énoncé explicite se trouve au XIIe siècle chez al-Samaw’al, qui l’attribue à al-Karaji. En Chine, Yang Hui (XIIIe siècle) présente le triangle en l’attribuant à Jia Xian, au XIe siècle.

En Europe, le triangle est étudié par plusieurs auteurs au XVIe siècle, puis de façon systématique par Blaise Pascal dans son Traité du triangle arithmétique. Isaac Newton, vers 1664-1665, étend la formule à des exposants qui ne sont pas des entiers naturels, sous forme de série infinie : c’est cette généralisation qui lui vaut d’avoir donné son nom à la formule, connue bien avant lui pour les exposants entiers. Le binôme est resté un symbole de mathématiques savantes : chez Conan Doyle, dans Le Dernier Problème, le professeur Moriarty a écrit dans sa jeunesse un traité sur le théorème du binôme.

Ce que montre l’affiche

Le dessin développe $(a + b)^3$ choix par choix. Chacune des $2^3 = 8$ façons de prendre $a$ ou $b$ dans les trois facteurs est une rangée de trois carreaux, marqués $a$ ou $b$. Les rangées sont regroupées en colonnes selon le nombre $k$ de $b$ : on compte 1, 3, 3 et 1 rangées, c’est-à-dire $\binom{3}{k}$, et sous chaque colonne figure le terme correspondant, $a^3$, $3a^2b$, $3ab^2$ et $b^3$. Les rangées sont énumérées par le programme de l’atelier, qui vérifie que la somme des huit produits redonne bien $(a+b)^3$. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• Le triangle de Pascal, où se lisent tous les coefficients binomiaux.
• Les identités remarquables, le cas $n = 2$.
• La loi binomiale, qui doit son nom à cette formule.
• Le nombre e, limite de $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$, que le binôme permet de développer.

Sources : Formule du binôme de Newton (Wikipédia) (nouvel onglet), Binomial theorem (Wikipedia) (nouvel onglet), Binomial Theorem (MathWorld) (nouvel onglet), NIST DLMF, § 1.2 (nouvel onglet).