La formule de Leibniz pour π

Ce que dit la formule

La formule affirme que la somme alternée des inverses des nombres impairs converge, et que sa limite est le quart de $\pi$ :

• $k$ parcourt les entiers $0, 1, 2, 3, \ldots$
• $2k + 1$ parcourt les nombres impairs $1, 3, 5, 7, \ldots$
• $(-1)^k$ vaut $+1$ quand $k$ est pair et $-1$ quand $k$ est impair : les signes alternent.
• $\sum_{k=0}^{\infty}$ désigne la limite des sommes partielles $S_N = \sum_{k=0}^{N-1} \frac{(-1)^k}{2k+1}$ (les $N$ premiers termes) quand $N$ grandit.
• $\pi \approx 3{,}141\,592\,653\,5\ldots$ est le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre.

Un point important : la somme doit être prise dans cet ordre. Sans les signes moins, $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \cdots$ grandirait sans limite ; c’est l’alternance qui fait converger la série, et un autre ordre des termes pourrait donner une autre limite.

La formule est le cas particulier $x = 1$ d’un résultat plus général, la série de l’arctangente : $\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$, valable pour tout réel $x$ compris entre $-1$ et $1$ (bornes incluses).

Un exemple

Multiplions les sommes partielles par $4$ pour les comparer directement à $\pi$ :

• 1 terme : $4 \times 1 = 4$
• 2 termes : $4 \times \left(1 - \frac{1}{3}\right) \approx 2{,}6666$
• 3 termes : $4 \times \left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) \approx 3{,}4666$
• 4 termes : $\approx 2{,}8952$ ; 5 termes : $\approx 3{,}3396$

Les valeurs passent alternativement au-dessus et au-dessous de $\pi$, en s’en rapprochant lentement. Avec $10$ termes, on obtient environ $3{,}0418$ ; avec $100$ termes, environ $3{,}1315$ ; avec $1\,000$ termes, environ $3{,}140\,592\,653\,8$. L’écart avec $\pi$ est alors d’environ $0{,}001$ : il faut à peu près dix fois plus de termes pour chaque décimale supplémentaire.

On remarque une curiosité sur ce dernier résultat : $3{,}14\mathbf{0}592653\mathbf{8}$ contre $\pi = 3{,}14\mathbf{1}592653\mathbf{5}$. Seules la troisième et la dixième décimale diffèrent ; ce phénomène, lié à la forme précise de l’erreur, est connu et étudié pour cette série.

L’alternance des signes a une conséquence utile : $\pi$ se trouve toujours entre deux sommes consécutives. Ainsi, avec $100$ et $101$ termes, on obtient environ $3{,}1315$ et $3{,}1514$, et $\pi$ est bien entre les deux. La moyenne de deux sommes consécutives est donc beaucoup plus proche de $\pi$ que chacune d’elles : avec $1\,000$ et $1\,001$ termes, elle vaut environ $3{,}141\,592\,154$, soit un écart d’environ $5 \times 10^{-7}$, à peu près deux mille fois plus petit qu’avec $1\,000$ termes seuls.

Pourquoi c’est vrai

La somme a une limite. Les termes $1, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \ldots$ diminuent et tendent vers $0$, et leurs signes alternent. Les sommes qui s’arrêtent sur un signe plus ($1$, puis $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5}$, etc.) diminuent ; celles qui s’arrêtent sur un signe moins augmentent ; et l’écart entre deux sommes consécutives tend vers $0$. Les deux familles de sommes se resserrent donc vers une même limite : c’est le critère des séries alternées, appelé justement critère de Leibniz. Il prouve que la somme existe, mais pas qu’elle vaut $\frac{\pi}{4}$.

La limite vaut π/4. La démonstration utilise la fonction arctangente : $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$, car un angle de $45°$, soit $\frac{\pi}{4}$ radian, a une tangente égale à $1$. On sait aussi que la dérivée de $\arctan t$ est $\frac{1}{1+t^2}$, donc

Pour tout entier $n \geq 0$, la somme des termes d’une suite géométrique de raison $-t^2$ donne l’égalité exacte

On intègre chaque terme entre $0$ et $1$. Comme $\int_0^1 t^{2k}\,dt = \frac{1}{2k+1}$, on obtient

Le reste $R_n$ tend vers $0$ quand $n$ grandit : la série converge bien vers $\frac{\pi}{4}$. Cette majoration ne décroît qu’à la vitesse de $\frac{1}{N}$, et ce n’est pas un défaut de la preuve : comme le montrent les calculs de l’exemple, l’erreur sur $\pi$ après $N$ termes est réellement voisine de $\frac{1}{N}$.

Une remarque géométrique pour finir : $\frac{\pi}{4}$ est l’aire d’un quart de disque de rayon $1$, ou encore le rapport entre l’aire d’un disque et celle du carré qui l’entoure. La formule exprime donc ce rapport par une somme de fractions toutes simples.

Un peu d’histoire

La formule est souvent appelée série de Madhava-Leibniz. Elle a été trouvée en Inde, au XIVe ou au XVe siècle, par Madhava de Sangamagrama ou par ses successeurs de l’école d’astronomie et de mathématiques du Kerala. Aucun écrit de Madhava qui la contienne ne nous est parvenu : elle lui est attribuée par des auteurs plus tardifs de la même école, comme Nilakantha Somayaji et Jyeshthadeva, autour de 1500 et au XVIe siècle, qui en donnent aussi des justifications.

En Europe, la formule est redécouverte au XVIIe siècle, indépendamment. L’Écossais James Gregory obtient en 1671 la série de l’arctangente, dont elle est un cas particulier. Gottfried Wilhelm Leibniz la trouve vers 1673-1674 et la publie en février 1682 dans la revue Acta Eruditorum. Le titre latin de son article annonce justement la « vraie proportion du cercle au carré circonscrit, exprimée en nombres rationnels » : c’est le rapport de $\frac{\pi}{4}$ évoqué plus haut. Selon la thèse la plus courante, les travaux du Kerala n’ont été connus en Europe qu’au XIXe siècle.

Pour calculer réellement des décimales de $\pi$, on a vite préféré des formules qui convergent beaucoup plus vite, comme celle de John Machin (1706), qui combine deux arctangentes.

Ce que montre l’affiche

Le dessin suit les $40$ premières sommes partielles, multipliées par $4$, calculées une à une par le programme. Une ligne horizontale marque la valeur de $\pi$ ; chaque somme est un point, relié à cette ligne par un trait vertical, dans une couleur pour les sommes qui s’arrêtent sur un signe plus et une autre pour celles qui s’arrêtent sur un signe moins. Les points oscillent de part et d’autre de $\pi$ en se resserrant lentement : après $40$ termes, l’écart est encore d’environ $0{,}025$. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• Le problème de Bâle, autre somme infinie qui fait apparaître $\pi$.
• Les séries de Fourier, qui retrouvent cette formule à partir d’un signal en créneau.
• L’identité d’Euler, où $\pi$ rencontre $e$ et $i$.