Le grand théorème de Fermat

L’énoncé

Le grand théorème de Fermat, aussi appelé dernier théorème de Fermat, affirme que l’équation

n’a aucune solution en nombres entiers $x, y, z \geq 1$ dès que $n \geq 3$.

• $x$, $y$ et $z$ sont les inconnues : des entiers strictement positifs (1, 2, 3…). La condition compte : avec $x = 0$, on aurait la solution évidente $0^n + z^n = z^n$, qui ne dit rien.
• $n$ est l’exposant, un entier fixé. Pour $n = 1$, il y a des solutions à volonté ($2 + 3 = 5$). Pour $n = 2$, il y en a une infinité : ce sont les triplets pythagoriciens, comme $(3, 4, 5)$.
• Le théorème dit qu’à partir de $n = 3$, il n’en existe plus aucune, et ce pour tous les exposants à la fois.

Une forme équivalente : en divisant par $z^n$, on voit que pour $n \geq 3$, la courbe $x^n + y^n = 1$ ne passe par aucun point dont les deux coordonnées sont des fractions strictement positives. Le cercle $x^2 + y^2 = 1$, lui, en contient une infinité, par exemple $(3/5, 4/5)$.

Un exemple

Pour $n = 2$, le calcul tombe juste :

De même, $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$. En divisant la première égalité par $5^2$, on obtient $\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$ : le point $(3/5, 4/5)$ est bien sur le cercle.

Pour $n = 3$, certaines sommes s’approchent d’un cube sans jamais l’atteindre :

• $6^3 + 8^3 = 216 + 512 = 728$, alors que $9^3 = 729$ : il manque 1 ;
• $9^3 + 10^3 = 729 + 1\,000 = 1\,729$, alors que $12^3 = 1\,728$ : il y a 1 de trop.

On peut tester par ordinateur tous les couples $x, y$ jusqu’à 1 000 : aucune somme $x^3 + y^3$ n’est un cube. Ce genre de recherche ne prouve rien, puisqu’il reste une infinité de nombres à essayer. Seule une démonstration peut régler la question pour tous les entiers.

Pourquoi c’est vrai

La démonstration complète dépasse de très loin le cadre de cette page : elle occupe plus d’une centaine de pages de mathématiques spécialisées. On peut en revanche en comprendre la structure.

Première étape : il suffit de traiter certains exposants. Si $x^{mk} + y^{mk} = z^{mk}$, alors $(x^k)^m + (y^k)^m = (z^k)^m$ : une solution pour l’exposant $mk$ donne une solution pour l’exposant $m$. Or tout entier $n \geq 3$ est divisible par 4 ou par un nombre premier impair. Il suffit donc de démontrer le théorème pour $n = 4$ et pour chaque nombre premier impair $p$.

Le cas $n = 4$ est dû à Fermat lui-même. Sa méthode, dite de la descente infinie, consiste à montrer qu’à partir d’une solution, on pourrait en fabriquer une autre en nombres entiers plus petits, puis une autre encore plus petite, et ainsi de suite. C’est impossible, car une suite d’entiers positifs ne peut pas décroître indéfiniment. Fermat démontre ainsi qu’aucun triangle rectangle à côtés entiers n’a pour aire un carré parfait ; on en déduit que l’équation $x^4 + y^4 = z^2$ n’a pas de solution en entiers strictement positifs, ce qui est plus fort que le cas $n = 4$, puisqu’une puissance quatrième $z^4$ est aussi un carré.

Le cas général a été obtenu par un détour inattendu. Dans les années 1970 et 1980, Yves Hellegouarch puis Gerhard Frey associent à une hypothétique solution $a^p + b^p = c^p$ une courbe elliptique, $y^2 = x(x - a^p)(x + b^p)$, aux propriétés trop étranges pour exister. En 1986, Ken Ribet démontre que cette courbe ne pourrait pas être « modulaire ». Andrew Wiles démontre ensuite que toutes les courbes elliptiques d’une large famille (dites semi-stables), qui contient celle-ci, sont modulaires. La courbe ne peut donc pas exister, et la solution non plus.

Un peu d’histoire

Pierre de Fermat, magistrat toulousain et mathématicien, possédait la traduction latine des Arithmétiques de Diophante publiée par Bachet de Méziriac en 1621. Vers 1637, à côté du problème qui demande d’écrire un carré comme somme de deux carrés, il note en marge que c’est impossible pour les cubes, les puissances quatrièmes et au-delà. Il ajoute, selon la traduction usuelle, qu’il en a découvert une démonstration « véritablement merveilleuse que cette marge est trop étroite pour contenir ».

L’exemplaire annoté n’a pas été retrouvé. La note est connue parce que son fils, Clément-Samuel Fermat, publie en 1670 une nouvelle édition de Diophante augmentée des remarques de son père. On ne sait pas si Fermat disposait d’une démonstration valable ; aucune n’a été retrouvée.

Le problème résiste ensuite plus de trois siècles. Euler traite le cas $n = 3$ au XVIIIe siècle (sa preuve publiée en 1770 présente une lacune). Dirichlet et Legendre règlent $n = 5$ vers 1825, Lamé $n = 7$ en 1839. Ernst Kummer, à partir de 1847, couvre d’un coup une large classe de nombres premiers, dits réguliers ; avec des compléments publiés en 1857, tous les exposants premiers inférieurs à 100 sont réglés. Ses « nombres idéaux », introduits pour ces questions, sont à l’origine d’une partie de l’algèbre moderne. L’Allemand Paul Wolfskehl, mort en 1906, lègue 100 000 marks à qui démontrera le théorème ; le prix, mis en place à Göttingen en 1908, est remis à Andrew Wiles en 1997.

En juin 1993, Andrew Wiles annonce une démonstration lors de trois conférences à l’Institut Isaac Newton, à Cambridge. Les relecteurs y trouvent une lacune. Wiles la comble en septembre 1994, avec l’aide de Richard Taylor. Les deux articles, l’un de Wiles, l’autre de Taylor et Wiles, paraissent dans les Annals of Mathematics en mai 1995. Wiles a reçu le prix Abel en 2016.

Ce que montre l’affiche

Le dessin trace, dans le quart de plan où $x$ et $y$ sont positifs, les douze courbes $x^n + y^n = 1$ pour $n = 1, 2, \ldots, 12$. La droite $n = 1$ est la plus intérieure ; à mesure que $n$ grandit, les courbes se gonflent vers le coin du carré. Le quart de cercle ($n = 2$), qui porte une infinité de points à coordonnées fractionnaires comme $(3/5, 4/5)$, est mis en couleur ; pour $n \geq 3$, les courbes n’en portent aucun. Chaque courbe est calculée point par point par un programme écrit pour l’atelier, et l’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• Le théorème de Pythagore, dont l’équation $x^2 + y^2 = z^2$ est le cas $n = 2$.
• Les nombres premiers, au cœur de la réduction aux exposants premiers.
• Le dernier théorème de Fermat sur Wikipédia (nouvel onglet) et l’article de Wiles, Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem (nouvel onglet).