La relation d’Euler des polyèdres

Ce que dit la relation

Pour tout polyèdre convexe, c’est-à-dire un solide limité par des faces planes et sans creux ni trou (le segment qui joint deux de ses points reste à l’intérieur du solide) :

• $S$ est le nombre de sommets, les coins du polyèdre.
• $A$ est le nombre d’arêtes, les segments où deux faces se rejoignent.
• $F$ est le nombre de faces, les polygones plats qui forment la surface.

La relation reste vraie bien au-delà des polyèdres convexes : il suffit que la surface du polyèdre puisse être déformée continûment, sans déchirure ni recollement, en une sphère, et que chaque face soit un polygone d’un seul tenant, sans trou. On dit que le polyèdre est « homéomorphe à la sphère ».

En revanche, elle est fausse pour un polyèdre troué. Prenons un cadre carré épais, percé en son centre d’un trou carré : il a 16 sommets (8 sur le dessus, 8 dessous), 32 arêtes (12 sur le dessus, 12 dessous, 8 verticales) et 16 faces (4 dessus, 4 dessous, 4 à l’extérieur, 4 à l’intérieur). On trouve $16 - 32 + 16 = 0$, et non 2. Sa surface a la forme d’une bouée, un tore. Plus généralement, pour un polyèdre dont les faces sont sans trou et dont la surface ressemble à une bouée à $g$ anneaux, on obtient $S - A + F = 2 - 2g$ : ce nombre, appelé caractéristique d’Euler, compte en quelque sorte les trous.

Un exemple

Le ballon de football classique a la forme d’un polyèdre appelé icosaèdre tronqué : 12 faces pentagonales et 20 faces hexagonales. Comptons sans le dessiner.

1. Les faces : $F = 12 + 20 = 32$.
2. Les arêtes : les faces ont au total $12 \times 5 + 20 \times 6 = 180$ côtés, et chaque arête est partagée par deux faces, donc $A = 180 \div 2 = 90$.
3. Les sommets : à chaque sommet se rencontrent trois faces, donc $S = 180 \div 3 = 60$.
4. On calcule $S - A + F = 60 - 90 + 32 = 2$.

La relation explique même pourquoi le ballon a exactement 12 pentagones. Imaginons un polyèdre convexe fait de $p$ pentagones et $h$ hexagones, avec trois faces à chaque sommet. Comme ci-dessus, $F = p + h$, $A = \frac{5p + 6h}{2}$ et $S = \frac{5p + 6h}{3}$. En reportant dans $S - A + F$, les termes en $h$ s’annulent et il reste $\frac{p}{6}$. La relation impose $\frac{p}{6} = 2$, donc $p = 12$, quel que soit le nombre d’hexagones.

Avec un cube, on trouve $8 - 12 + 6 = 2$ ; avec une pyramide à base pentagonale, $6 - 10 + 6 = 2$ ; avec un prisme à base hexagonale, $12 - 18 + 8 = 2$.

La relation sert aussi à calculer : un polyèdre convexe à 7 faces et 10 sommets, comme le prisme à base pentagonale, a forcément $A = S + F - 2 = 10 + 7 - 2 = 15$ arêtes.

Pourquoi c’est vrai

Une démonstration complète demande des précautions qui dépassent le cadre de cette page : plusieurs preuves publiées aux XVIIIe et XIXe siècles se sont révélées incomplètes. L’idée la plus connue, qui remonte à Cauchy (1811), est la suivante.

1. On retire une face du polyèdre, puis on aplatit la surface restante sur une table, comme une peau qu’on étire, sans rien déchirer. On obtient un réseau plan de points et de segments, avec les mêmes $S$ et $A$, mais une face de moins (on ne compte pas la région extérieure) : il faut montrer que dans ce réseau, $S - A + F = 1$.
2. On découpe chaque face en triangles en traçant des diagonales : chaque diagonale ajoute une arête et une face, ce qui ne change pas $S - A + F$.
3. On retire les triangles un par un depuis le bord. Retirer un triangle qui touche le bord par une arête enlève une arête et une face ; s’il touche le bord par deux arêtes, on enlève un sommet, deux arêtes et une face. Dans les deux cas, $S - A + F$ ne change pas.
4. À la fin, il reste un seul triangle : $3 - 3 + 1 = 1$. En remettant la face retirée au début, on obtient $2$.

La difficulté est de justifier chaque étape, en particulier l’ordre dans lequel on retire les triangles. Le philosophe Imre Lakatos a consacré un livre entier, Proofs and Refutations (1976), aux preuves successives de cette relation et à leurs failles.

Un peu d’histoire

Leonhard Euler annonce la relation dans une lettre au mathématicien Christian Goldbach datée de novembre 1750. Il la publie ensuite dans deux mémoires de l’Académie de Saint-Pétersbourg, dans le volume consacré aux années 1752-1753, paru en 1758. Sa démonstration reposait sur des hypothèses non dites et a été jugée incomplète. La première preuve généralement acceptée, au moins pour les polyèdres convexes, est attribuée à Adrien-Marie Legendre (1794).

La question d’une découverte antérieure par René Descartes est discutée. Son manuscrit De solidorum elementis, rédigé vers 1630 (la date exacte est incertaine), n’est connu que par une copie faite par Leibniz en 1676, retrouvée à Hanovre vers 1860. Il contient une formule dont on peut tirer facilement la relation d’Euler. Mais l’étude de référence de P. J. Federico (1982) conclut que Descartes ne l’avait probablement pas formulée ; ses commentateurs soulignent notamment qu’il ne raisonnait pas en termes d’arêtes. Dès 1537, Francesco Maurolico avait par ailleurs remarqué, dans un manuscrit resté inédit, que la relation est vérifiée par les cinq solides de Platon.

Ce que montre l’affiche

L’affiche réunit les cinq solides de Platon : tétraèdre, cube, octaèdre, dodécaèdre et icosaèdre. Le programme ne reçoit que les coordonnées de leurs sommets ; il en déduit lui-même les faces (les plans qui laissent tous les autres sommets du même côté) et les arêtes (les paires de sommets communes à exactement deux faces). Les faces visibles sont teintées, les arêtes cachées sont en pointillés, et sous chaque solide s’inscrit le décompte : $4 - 6 + 4 = 2$, $8 - 12 + 6 = 2$, $6 - 12 + 8 = 2$, $20 - 30 + 12 = 2$ et $12 - 30 + 20 = 2$. Ces dessins, calculés par des programmes écrits pour l’atelier à partir de la formule elle-même, existent en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La formule d’Euler et l’identité d’Euler : deux autres résultats qui portent le nom d’Euler, sans rapport avec les polyèdres.
• Le nombre d’or, qui apparaît dans les coordonnées des sommets du dodécaèdre et de l’icosaèdre.
• Le ruban de Möbius, une autre surface étonnante de la topologie, qui n’a qu’un seul côté.