La formule d’Euler

Ce que dit la formule

Pour tout nombre réel $\theta$ :

• $\theta$ (thêta) est un nombre réel, qu’on interprète comme un angle mesuré en radians : un tour complet vaut $2\pi$ radians, soit 360°. La formule est fausse si l’on remplace $\theta$ par sa mesure en degrés.
• $i$ est l’unité imaginaire, un nombre tel que $i^2 = -1$. Les nombres complexes s’écrivent $x + iy$, avec $x$ et $y$ réels.
• $\cos\theta$ et $\sin\theta$ sont le cosinus et le sinus de l’angle $\theta$ : ils forment la partie réelle et la partie imaginaire du nombre $e^{i\theta}$.
• $e^{i\theta}$ est l’exponentielle du nombre complexe $i\theta$. Elle est définie, comme pour tout nombre complexe $z$, par la somme infinie $e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \cdots$, qui converge toujours.

Le sens géométrique : dans le plan où le nombre $x + iy$ est représenté par le point de coordonnées $(x, y)$, le nombre $e^{i\theta}$ est le point du cercle de centre $0$ et de rayon 1 qui fait l’angle $\theta$ avec l’axe horizontal. Sa distance à l’origine vaut 1, car $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$. Quelques valeurs se lisent directement sur ce cercle : un quart de tour donne $e^{i\pi/2} = i$, un demi-tour donne $e^{i\pi} = -1$, trois quarts de tour donnent $e^{3i\pi/2} = -i$, et un tour complet ramène au point de départ, $e^{2i\pi} = 1$. Plus généralement, $e^{i\theta}$ ne change pas quand on ajoute $2\pi$ à $\theta$ : l’exponentielle complexe est périodique.

Trois conséquences font tout l’intérêt de la formule :

• La forme exponentielle : tout nombre complexe non nul s’écrit $z = r\,e^{i\theta}$, où $r > 0$ est sa distance à l’origine et $\theta$ son angle. Multiplier deux nombres complexes revient alors à multiplier les distances et à additionner les angles.
• Le cosinus et le sinus en exponentielles : en écrivant la formule pour $\theta$ et pour $-\theta$, on obtient $\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$.
• La formule de Moivre : pour tout entier $n$, $(\cos\theta + i\,\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\,\sin n\theta$, puisque $\left(e^{i\theta}\right)^n = e^{in\theta}$.

La formule reste vraie pour un nombre complexe $\theta$ quelconque, à condition de définir $\cos$ et $\sin$ par leurs séries ; mais c’est le cas réel qui donne l’image du cercle.

Un exemple

Prenons $\theta = \frac{\pi}{3}$, c’est-à-dire 60°. On sait que $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ et $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, environ 0,866 025. Donc

Vérifions une conséquence. Les exposants s’ajoutent quand on multiplie, donc trois fois $\frac{\pi}{3}$ doit donner $e^{i\pi} = \cos\pi + i\,\sin\pi = -1$. Calculons à la main, en utilisant $i^2 = -1$ :

1. $\left(\frac{1}{2} + i\,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} + 2 \times \frac{1}{2} \times i\,\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} + i\,\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;
2. $\left(-\frac{1}{2} + i\,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{1}{2} + i\,\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{1}{4} - \frac{3}{4} + i\left(-\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}\right) = -1$.

On retrouve bien $-1$ : trois rotations de 60° font un demi-tour.

La même idée redonne les formules de trigonométrie sans les apprendre par cœur. Comme $e^{2i\theta} = \left(e^{i\theta}\right)^2$, on a $\cos 2\theta + i\,\sin 2\theta = (\cos\theta + i\,\sin\theta)^2$. En développant et en séparant partie réelle et partie imaginaire : $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ et $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$.

Les formules d’addition se retrouvent de la même façon. Pour deux réels $a$ et $b$, on écrit $e^{i(a+b)} = e^{ia}\,e^{ib}$, c’est-à-dire $\cos(a+b) + i\,\sin(a+b) = (\cos a + i\,\sin a)(\cos b + i\,\sin b)$. En développant le produit et en identifiant les parties réelles puis les parties imaginaires, on obtient $\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$ et $\sin(a+b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$. Une seule formule, facile à retenir, en contient ainsi plusieurs.

Pourquoi c’est vrai

On part de la somme qui définit l’exponentielle et l’on y remplace $z$ par $i\theta$. Les puissances de $i$ suivent un cycle de quatre : $i^0 = 1$, $i^1 = i$, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, puis $i^4 = 1$ et tout recommence. La somme qui définit $e^{i\theta}$ devient

On regroupe les termes sans $i$ et les termes avec $i$ ; $e^{i\theta}$ est donc égal à

La première parenthèse est la série du cosinus, la seconde celle du sinus : on a donc $e^{i\theta} = \cos\theta + i\,\sin\theta$. Le regroupement est permis parce que toutes ces séries convergent absolument, quel que soit $\theta$.

Ces séries convergent vite. Pour $\theta = 1$ radian (environ 57,29°), quatre termes de chaque parenthèse suffisent déjà : $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{24} - \frac{1}{720}$ vaut environ 0,540 277, alors que $\cos 1$ vaut environ 0,540 302 ; et $1 - \frac{1}{6} + \frac{1}{120} - \frac{1}{5\,040}$ vaut environ 0,841 468, alors que $\sin 1$ vaut environ 0,841 470.

Une autre preuve, si l’on connaît les dérivées : la fonction $g(\theta) = e^{-i\theta}(\cos\theta + i\,\sin\theta)$ a une dérivée nulle, car $-i(\cos\theta + i\,\sin\theta) + (-\sin\theta + i\cos\theta) = 0$. Elle est donc constante, égale à $g(0) = 1$, ce qui donne la formule.

Un peu d’histoire

Plusieurs mathématiciens ont approché ce résultat avant Euler. Johann Bernoulli relie, au début du XVIIIe siècle, certains logarithmes aux nombres imaginaires. En 1714, Roger Cotes publie un résultat équivalent, écrit sous forme de logarithme, mais entaché d’une erreur sur la place du facteur $\sqrt{-1}$.

Leonhard Euler obtient la formule vers 1740 en comparant les séries de l’exponentielle, du cosinus et du sinus, et la publie en 1748 dans son Introductio in analysin infinitorum. L’interprétation des nombres complexes comme points d’un plan, qui donne à la formule son image du cercle, ne vient qu’environ cinquante ans plus tard, avec Caspar Wessel puis Jean-Robert Argand. Le physicien Richard Feynman l’appelait « notre joyau » dans ses cours de physique (The Feynman Lectures on Physics, volume I, chapitre 22).

Ce que montre l’affiche

Le dessin ajoute une troisième dimension au cercle : il trace l’hélice $t \mapsto (t, \cos t, \sin t)$ sur deux tours, $t$ allant de $0$ à $4\pi$, vue en perspective. Chaque point de l’hélice est le point $e^{it}$ du cercle, décalé le long d’un axe ; des segments relient l’axe à l’hélice tous les $\pi/8$. Au milieu, l’ombre de l’hélice sur un plan est la courbe du cosinus, partie réelle de $e^{it}$ ; en bas, son autre ombre est la courbe du sinus, partie imaginaire. Le dessin est calculé par des programmes écrits pour l’atelier, à partir de la formule elle-même, et existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• L’identité d’Euler, le cas particulier $\theta = \pi$.
• Le nombre e, base de l’exponentielle.
• Les séries de Fourier et la transformée de Fourier, qui décomposent les signaux en sommes de $e^{i\theta}$.
• L’équation de Schrödinger, où les exponentielles complexes décrivent l’évolution des ondes quantiques.
• Le théorème de Pythagore, qui explique pourquoi $e^{i\theta}$ reste sur le cercle de rayon 1.