Le produit scalaire

Ce que dit la formule

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, soient $\vec{u}\,(x\,;y)$ et $\vec{v}\,(x'\,;y')$ deux vecteurs non nuls qui forment l’angle $\theta$. Alors :

• $\vec{u}\cdot\vec{v}$ se lit « $\vec{u}$ scalaire $\vec{v}$ ». Le résultat est un nombre réel (un « scalaire »), pas un vecteur.
• $\|\vec{u}\|$ est la norme, c’est-à-dire la longueur, du vecteur $\vec{u}$ : en repère orthonormé, $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
• $\theta$ est l’angle entre les deux vecteurs, compris entre $0$ et $\pi$ radians (entre $0^\circ$ et $180^\circ$). Comme le cosinus est pair, le sens dans lequel on mesure l’angle n’a pas d’importance.
• $x x' + y y'$ est l’expression en coordonnées. Elle n’est valable que dans une base orthonormée : deux vecteurs de base perpendiculaires et de longueur 1.

Si l’un des vecteurs est nul, l’angle n’est pas défini et l’on pose $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$ ; la formule en coordonnées donne bien 0.

Conséquences immédiates :

• Orthogonalité. Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, c’est-à-dire $xx' + yy' = 0$.
• Signe. Le produit est positif quand l’angle est aigu ($\theta < 90^\circ$), négatif quand il est obtus ($\theta > 90^\circ$).
• Projection. Si $H$ est le projeté orthogonal de l’extrémité de $\vec{v}$ sur la droite portée par $\vec{u}$ (les deux vecteurs partant de $O$), alors $\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\| \times \overline{OH}$, où $\overline{OH}$ est la longueur $OH$ comptée positivement dans le sens de $\vec{u}$ et négativement dans l’autre.
• Norme. $\vec{u}\cdot\vec{u} = \|\vec{u}\|^2$.

En dimension 3, dans un repère orthonormé, la formule devient $xx' + yy' + zz'$.

Le produit scalaire sert partout où l’on veut savoir « combien un vecteur va dans la direction d’un autre ». En physique, le travail d’une force constante $\vec{F}$ le long d’un déplacement rectiligne $\overrightarrow{AB}$ est $\vec{F}\cdot\overrightarrow{AB}$ : seule la composante de la force parallèle au déplacement travaille, et une force perpendiculaire au mouvement ne travaille pas.

Un exemple

Prenons $\vec{u}\,(3\,;1)$ et $\vec{v}\,(1\,;2)$. En coordonnées :

Les normes valent $\|\vec{u}\| = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$ et $\|\vec{v}\| = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$. On en tire le cosinus de l’angle :

donc $\theta = 45^\circ$. On peut le vérifier autrement : $\vec{u}$ fait avec l’axe des abscisses un angle d’environ $18{,}43^\circ$, $\vec{v}$ un angle d’environ $63{,}43^\circ$, et la différence vaut bien $45^\circ$.

La projection de $\vec{v}$ sur la droite de $\vec{u}$ a pour longueur $\frac{5}{\sqrt{10}}$, environ $1{,}5811$ ; le pied $H$ a pour coordonnées $(1{,}5\,;0{,}5)$.

Autre exemple : $\vec{a}\,(2\,;3)$ et $\vec{b}\,(-3\,;2)$ donnent $2 \times (-3) + 3 \times 2 = 0$. Ces deux vecteurs sont orthogonaux.

Pourquoi c’est vrai

L’égalité des deux expressions repose sur la loi des cosinus (appelée en France théorème d’Al-Kashi), qui généralise le théorème de Pythagore. Dans le triangle formé par $O$ et les extrémités des deux vecteurs, le troisième côté est le vecteur $\vec{v} - \vec{u}$, et l’on a

Calculons maintenant le membre de gauche en coordonnées, ce qui est permis dans un repère orthonormé grâce au théorème de Pythagore :

Les deux lignes ont le même membre de gauche, et $x^2 + y^2 = \|\vec{u}\|^2$, $x'^2 + y'^2 = \|\vec{v}\|^2$. En comparant, il reste $\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta = xx' + yy'$.

Avec l’exemple : $\|\vec{v} - \vec{u}\|^2 = (-2)^2 + 1^2 = 5$, et $10 + 5 - 2 \times 5 = 5$.

Le rôle de la base orthonormée est essentiel. Dans une base dont les vecteurs ne sont pas perpendiculaires, par exemple $(1\,;0)$ et $(1\,;1)$, les deux vecteurs de base ont pour coordonnées $(1\,;0)$ et $(0\,;1)$ : la formule $xx' + yy'$ donnerait 0, alors que leur produit scalaire vaut 1.

Un peu d’histoire

La loi des cosinus est bien plus ancienne que le produit scalaire : Euclide en donne une version géométrique dans les Éléments (livre II, propositions 12 et 13), sous forme de comparaisons d’aires, sans cosinus. Au XVe siècle, Ghiyath al-Kashi, de l’école de Samarcande, l’énonce sous une forme adaptée aux calculs de triangulation ; son nom ne s’est imposé dans les manuels français qu’à partir des années 1990.

Le produit scalaire lui-même apparaît au XIXe siècle. William Rowan Hamilton le fait intervenir en 1843 dans son calcul des quaternions, et Hermann Grassmann développe à la même époque une algèbre des grandeurs étendues où il joue un rôle. La notation avec un point vient du calcul vectoriel de Josiah Willard Gibbs, dans les années 1880.

Ce que montre l’affiche

Un vecteur $\vec{u}$ horizontal et 23 vecteurs $\vec{v}$ de même longueur, tous les $15^\circ$ autour de l’origine. De l’extrémité de chaque $\vec{v}$ part un pointillé perpendiculaire à la droite de $\vec{u}$ ; le pied de ce pointillé est calculé avec le produit scalaire lui-même. Les vecteurs dont le produit avec $\vec{u}$ est positif sont d’une couleur, ceux dont il est négatif d’une autre, et les deux vecteurs perpendiculaires, de produit nul, sont dans la couleur du texte. Un vecteur est mis en avant, avec son angle $\theta$, l’angle droit au pied de la projection et la longueur projetée soulignée sous l’axe. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• Le théorème de Pythagore, cas particulier de la loi des cosinus pour un angle droit.
• Le déterminant, qui mesure l’aire là où le produit scalaire mesure l’alignement.
• La formule d’Euler, qui relie le cosinus et le sinus à l’exponentielle complexe.
• Produit scalaire sur Wikipédia (nouvel onglet) et Dot Product sur Wolfram MathWorld (nouvel onglet), en anglais.