Le volume de la sphère

Ce que dit la formule

Une sphère de centre $O$ et de rayon $r$ est l’ensemble des points de l’espace situés à la distance $r$ de $O$ : c’est une surface, comme la peau d’un ballon. Le solide qu’elle délimite, formé des points situés à une distance inférieure ou égale à $r$, s’appelle une boule. Quand on parle du « volume de la sphère », il s’agit en toute rigueur du volume de cette boule :

• $V$ est le volume, en unités de volume : si $r$ est en centimètres, $V$ est en centimètres cubes (cm³).
• $r$ est le rayon, la distance du centre à n’importe quel point de la sphère, avec $r > 0$.
• $\pi$ est le nombre pi, environ 3,141 59.
• $r^3 = r \times r \times r$ : le volume est proportionnel au cube du rayon.

Trois remarques complètent la formule :

• Avec le diamètre $d = 2r$, elle devient $V = \frac{\pi d^3}{6}$. Confondre rayon et diamètre multiplie le résultat par 8.
• Doubler le rayon multiplie le volume par $2^3 = 8$. Une boule deux fois plus large contient huit fois plus de matière.
• L’aire de la sphère (sa surface) vaut $4\pi r^2$, soit quatre fois l’aire d’un disque de même rayon. C’est d’ailleurs la dérivée du volume par rapport au rayon : quand le rayon augmente d’une petite quantité, le volume gagne une fine couche de surface $4\pi r^2$.

Un exemple

Une boule de 10 cm de rayon. Le cube du rayon vaut $10^3 = 1\,000$, donc

soit environ 4 188,79 cm³, un peu moins de 4,19 litres. Le cylindre qui l’entoure exactement, de rayon 10 cm et de hauteur 20 cm, a pour volume $\pi \times 10^2 \times 20 = 2\,000\,\pi$, environ 6 283,18 cm³ ; la boule en occupe bien les deux tiers.

La Terre. La Terre n’est pas une sphère parfaite, mais la NASA donne un rayon moyen de 6 371 km, défini comme le rayon de la sphère de même volume. La formule donne

soit environ mille milliards de kilomètres cubes, ce qui correspond à la valeur de $108{,}321 \times 10^{10}$ km³ publiée dans la fiche de la Terre de la NASA (nouvel onglet).

Pourquoi c’est vrai

La démonstration la plus parlante est celle que dessine l’affiche ; elle remonte à Archimède. On place la boule de rayon $r$ dans un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $2r$, et l’on y ajoute deux cônes qui ont pour sommet le centre de la boule et pour bases les deux disques du cylindre (on obtient une forme de sablier).

Coupons le tout par un plan horizontal, à la hauteur $z$ au-dessus du centre, avec $-r \leq z \leq r$ :

• la boule y laisse un disque dont le rayon vaut $\sqrt{r^2 - z^2}$ d’après le théorème de Pythagore ; son aire est $\pi(r^2 - z^2)$ ;
• le cylindre y laisse un disque de rayon $r$ et les cônes un disque de rayon $|z|$, car leurs flancs sont inclinés à 45° ; le cylindre privé des cônes laisse donc un anneau d’aire $\pi r^2 - \pi z^2$.

Les deux aires sont égales à toute hauteur. Or deux solides de même hauteur dont toutes les sections horizontales ont la même aire ont le même volume : c’est le principe de Cavalieri, que le calcul intégral justifie. La boule a donc le volume du cylindre moins celui des deux cônes. Chaque cône a pour volume un tiers de sa base fois sa hauteur, soit $\frac{1}{3}\pi r^2 \times r$. D’où

Avec une intégrale, le même découpage en tranches s’écrit directement : on additionne les disques d’aire $\pi(r^2 - z^2)$ et d’épaisseur infiniment petite,

grâce au théorème fondamental de l’analyse.

Un peu d’histoire

La formule est due à Archimède de Syracuse (vers 287 - vers 212 av. J.-C.). Dans son traité De la sphère et du cylindre, écrit vers 225 av. J.-C., il établit que la boule a pour volume, et la sphère pour aire, les deux tiers de ceux du cylindre circonscrit, en comptant les deux disques du cylindre dans son aire. Il tenait tant à ce résultat qu’il aurait demandé que l’on grave sur sa tombe une sphère inscrite dans un cylindre ; selon Cicéron, qui dit l’avoir retrouvée, envahie par la végétation, alors qu’il était questeur en Sicile, le monument portait bien cette figure.

La comparaison des sections, utilisée plus haut, apparaît dans un autre texte d’Archimède, La Méthode, où il découvre le volume de la boule en comparant ses tranches à celles d’un cylindre et d’un cône. Ce traité, longtemps perdu, n’est connu que par un palimpseste, un parchemin réutilisé pour copier des prières, dont l’intérêt fut reconnu par le philologue danois Johan Ludvig Heiberg en 1906.

En Chine, Zu Chongzhi et son fils Zu Gengzhi ont obtenu le volume de la boule au Ve siècle de notre ère par un principe semblable. En Europe, ce principe porte le nom de l’Italien Bonaventura Cavalieri, qui l’a exposé en 1635 dans sa Geometria indivisibilibus.

Ce que montre l’affiche

Le programme dessine, en perspective, la boule de rayon $r$ dans son cylindre et les deux cônes de sommet le centre. Trois plans horizontaux la coupent, aux hauteurs $0{,}8\,r$, $0{,}1\,r$ et $-0{,}6\,r$ ; pour chacun, il trace à droite, vus de dessus, le disque coupé dans la boule, de rayon $\sqrt{r^2 - z^2}$, et l’anneau compris entre les cônes et le cylindre, de rayons $|z|$ et $r$, dont il vérifie que les aires sont égales. Sous la formule, la ligne $V = \tfrac{2}{3}\, V_{\text{cylindre}}$ rappelle le résultat d’Archimède. Comme tous les dessins de la boutique, celui-ci est calculé par des programmes écrits pour l’atelier, à partir de la formule elle-même, et existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• Périmètre et aire du disque, l’équivalent en dimension deux, également étudié par Archimède.
• La poussée d’Archimède, l’autre grande découverte qu’on lui attribue.
• La dérivée : la dérivée de $\frac{4}{3}\pi r^3$ par rapport à $r$ est l’aire $4\pi r^2$.
• Le théorème fondamental de l’analyse, qui justifie le calcul par tranches.