Le ruban de Möbius

Ce que disent les équations

Prenez une bande de papier, faites-lui faire un demi-tour, puis collez ses deux extrémités : vous obtenez un ruban de Möbius. Les équations ci-dessous décrivent un tel ruban dans l'espace, pour $0 \leq u < 2\pi$ et $-1 \leq v \leq 1$ :

• $(x, y, z)$ : les coordonnées d'un point du ruban dans l'espace.
• $u$ : la position le long du ruban. Quand $u$ va de $0$ à $2\pi$, on fait un tour complet autour de l'axe vertical.
• $v$ : la position en travers du ruban, d'un bord apparent ($v = -1$) à l'autre ($v = 1$). La valeur $v = 0$ donne la ligne médiane, un cercle de rayon $1$.
• $\cos u$ et $\sin u$ : ils font tourner le point autour de l'axe vertical.
• $\tfrac{u}{2}$ : le petit segment tracé en travers du ruban tourne deux fois moins vite que l'on avance. Après un tour complet, il n'a tourné que d'un demi-tour : c'est la torsion du ruban.
• $\tfrac{v}{2}$ : il varie de $-\tfrac{1}{2}$ à $\tfrac{1}{2}$, donc le ruban a une largeur de $1$.

Ce ruban a deux propriétés surprenantes. Il n'a qu'une seule face : un insecte qui marche sur la ligne médiane revient, après un tour, à son point de départ mais « de l'autre côté » du papier, sans avoir franchi de bord. Et il n'a qu'un seul bord : ce qui ressemble à deux bords est en réalité une seule boucle. Les mathématiciens disent que le ruban est une surface non orientable.

Un exemple

Calculons quelques points du ruban.

Pour $u = \tfrac{\pi}{2}$ et $v = 1$ : $\cos\tfrac{\pi}{4} = \sin\tfrac{\pi}{4} = \tfrac{\sqrt{2}}{2}$, environ $0{,}7071$. On obtient $x = 0$ (car $\cos\tfrac{\pi}{2} = 0$), $y = 1 + \tfrac{\sqrt{2}}{4}$, environ $1{,}3535$, et $z = \tfrac{\sqrt{2}}{4}$, environ $0{,}3535$.

Suivons maintenant le bord $v = 1$ depuis $u = 0$ :

• en $u = 0$ : $\cos 0 = 1$ et $\sin 0 = 0$, donc le point est $(1{,}5 \; ; 0 \; ; 0)$ ;
• en $u = 2\pi$, après un tour : $\cos\pi = -1$ et $\sin\pi = 0$, donc le point est $(0{,}5 \; ; 0 \; ; 0)$.

Or $(0{,}5 \; ; 0 \; ; 0)$ est exactement le point $u = 0$, $v = -1$, c'est-à-dire le départ de l'autre bord apparent. Après un tour, le bord $v = 1$ s'est raccordé au bord $v = -1$ : il n'y a qu'un seul bord, qu'il faut parcourir deux fois autour de l'axe pour revenir au départ. Un calcul numérique de sa longueur donne environ $13{,}006$, soit à peu près le double de la ligne médiane ($2\pi$, environ $6{,}283$).

Pourquoi il n'a qu'une face et un seul bord

Tout repose sur une remarque. Quand on remplace $u$ par $u + 2\pi$, on a $\cos\tfrac{u + 2\pi}{2} = -\cos\tfrac{u}{2}$ et $\sin\tfrac{u + 2\pi}{2} = -\sin\tfrac{u}{2}$, alors que $\cos u$ et $\sin u$ ne changent pas. En reportant dans les trois équations, on trouve que le point $(u + 2\pi, v)$ est le même que le point $(u, -v)$.

Un seul bord. Le bord $v = 1$, prolongé au-delà d'un tour, devient donc le bord $v = -1$. Les deux bords apparents forment une seule courbe fermée, obtenue pour $v = 1$ et $u$ allant de $0$ à $4\pi$.

Une seule face. On peut calculer, le long de la ligne médiane ($v = 0$), le vecteur de longueur $1$ perpendiculaire au ruban (le « vecteur normal ») :

En $u = 0$, il vaut $(0, 0, -1)$ : il pointe vers le bas. En $u = 2\pi$, au même endroit du ruban, il vaut $(0, 0, 1)$ : il pointe vers le haut. En faisant un tour, la flèche perpendiculaire est revenue retournée, sans jamais traverser le ruban. Il est donc impossible de colorier « un côté » en rouge et « l'autre » en bleu : les deux côtés n'en font qu'un.

Ce qui arrive quand on le coupe. Coupons le ruban le long de sa ligne médiane, c'est-à-dire retirons les points $v = 0$. Il reste les points où $v > 0$ et ceux où $v < 0$. Mais, d'après la remarque, le point $(u, v)$ avec $v < 0$ est aussi le point $(u + 2\pi, -v)$, avec $-v > 0$. Les deux moitiés se recollent donc en un seul ruban, décrit par $0 < v \leq 1$ et $u$ allant de $0$ à $4\pi$ : il est deux fois plus long, et il a deux faces et deux bords. Ce nouveau ruban fait deux tours complets de torsion (quatre demi-tours). Si l'on coupe au tiers de la largeur au lieu du milieu, on obtient deux rubans enlacés : un ruban de Möbius plus étroit (le tiers central) et un ruban à deux faces, deux fois plus long. L'expérience se fait en quelques minutes avec du papier, des ciseaux et du ruban adhésif.

Un peu d'histoire

Le ruban a été découvert indépendamment, en 1858, par deux mathématiciens allemands : Johann Benedict Listing et August Ferdinand Möbius. Selon les historiens, Listing l'a rencontré en juillet 1858 et Möbius en septembre de la même année, d'après ses carnets. Listing a publié le premier, dans un mémoire consacré à des généralisations de la formule d'Euler pour les polyèdres (paru en 1861 ou 1862 selon les sources). Möbius a publié sa découverte en 1865. Il avait aussi rédigé un mémoire sur les surfaces à un seul côté pour un concours de l'Académie des sciences de Paris sur la théorie des polyèdres ; ce texte n'a été retrouvé qu'après sa mort.

C'est pourtant le nom de Möbius qui est resté. Listing est connu pour une autre raison : son livre Vorstudien zur Topologie (1847) est considéré comme le premier texte publié employant le mot « topologie », la branche des mathématiques qui étudie les formes à déformation près.

Des rubans tressés qui ressemblent à un ruban de Möbius apparaissent déjà sur des mosaïques romaines du IIIe siècle. On ne sait pas si l'effet était voulu : sur certaines mosaïques de ce type, le nombre de torsions ne donne d'ailleurs pas un ruban de Möbius.

Ce que montre l'affiche

Le dessin est calculé par un programme écrit pour l'atelier, à partir des équations elles-mêmes. Il trace 140 segments en travers du ruban, de $v = -1$ à $v = 1$, pour des valeurs de $u$ régulièrement espacées, vus en perspective : les segments les plus éloignés sont plus pâles. Par-dessus, un seul trait continu suit le bord $v = 1$ pour $u$ allant de $0$ à $4\pi$ : on voit qu'il fait le tour des deux bords apparents. L'affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La relation d'Euler pour les polyèdres : c'est en cherchant à la généraliser que Listing et Möbius ont rencontré le ruban.
• La lemniscate de Bernoulli : un autre « huit », plan cette fois, qui ressemble au symbole de l'infini.
• L'ensemble de Mandelbrot : une autre forme célèbre, née d'une formule très courte.