La formule de Stirling

Ce que dit la formule

Pour un entier naturel $n$ qui tend vers l’infini :

• $n!$ (« factorielle $n$ ») est le produit $1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n$. Par exemple, $5! = 120$.
• $\pi$ est le nombre bien connu, environ 3,14159, et $e$ la base des logarithmes naturels, environ 2,71828.
• Le signe $\sim$ se lit « est équivalent à ». Ce n’est pas une égalité : il signifie que le rapport des deux membres tend vers 1,

Ce point est essentiel. C’est l’erreur relative qui devient petite, pas l’écart lui-même : pour $n = 10$, la différence entre $10!$ et son approximation vaut déjà environ 30 104 ; pour $n = 20$, elle dépasse $10^{16}$. Pourtant, en proportion, l’approximation est de plus en plus juste.

La version logarithmique. En prenant le logarithme népérien, la formule devient

On en garde souvent seulement les deux premiers termes, $\ln n! \approx n \ln n - n$, notamment en physique statistique et en théorie de l’information, où $n$ est gigantesque. Pour $n = 10$ : $\ln 10!$ vaut environ 15,1044 ; $10 \ln 10 - 10$ vaut environ 13,0258 ; en ajoutant $\frac{1}{2}\ln(20\pi)$, on arrive à environ 15,0960. Cette version courte n’est pas un équivalent de $n!$ lui-même : oublier le terme $\frac{1}{2}\ln(2\pi n)$ fausse $n!$ d’un facteur $\sqrt{2\pi n}$, négligeable seulement à l’échelle des logarithmes.

On sait même mesurer l’erreur. Le rapport vaut environ $1 + \frac{1}{12n}$, et pour tout entier $n \geq 1$ on a l’encadrement, dû à Herbert Robbins (1955) :

Un exemple

Calculons l’approximation pour $n = 10$, où $10! = 3\,628\,800$.

1. $\sqrt{2\pi \times 10} = \sqrt{20\pi}$, environ 7,926654.
2. $\left(\frac{10}{e}\right)^{10}$, environ 453 999,297.
3. Le produit donne environ 3 598 695,6.

Le rapport $\frac{3\,628\,800}{3\,598\,695{,}6}$ vaut environ 1,00836 : l’approximation est trop petite d’environ 0,82 %. La correction $1 + \frac{1}{120}$, environ 1,00833, prévoit très bien cet écart.

Le rapport continue de se rapprocher de 1 :

• $n = 1$ : environ 1,0844 ;
• $n = 5$ : environ 1,0167 ;
• $n = 20$ : environ 1,00417 ;
• $n = 100$ : environ 1,000833.

Pour $n = 100$, la formule donne environ $9{,}32 \times 10^{157}$, pour une valeur exacte d’environ $9{,}33 \times 10^{157}$ : de quoi savoir, sans tout multiplier, que $100!$ compte 158 chiffres.

Une application : pile ou face. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 50 « pile » en 100 lancers d’une pièce équilibrée ? Elle vaut $\binom{100}{50} / 2^{100} = \frac{100!}{50!\,50!\,2^{100}}$. En remplaçant chaque factorielle par la formule de Stirling, presque tout se simplifie et il reste $\frac{1}{\sqrt{50\pi}}$, environ 0,07978. La valeur exacte est environ 0,07958 : l’estimation est juste à 0,25 % près, sans avoir calculé un nombre à 158 chiffres. Plus généralement, $\binom{2n}{n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$.

Pourquoi c’est vrai

La démonstration complète demande un peu d’analyse ; en voici les deux étapes.

1. La forme générale. On passe au logarithme : $\ln n! = \ln 1 + \ln 2 + \cdots + \ln n$. Cette somme ressemble à l’aire sous la courbe de $\ln$, soit $\int_1^n \ln x \,\mathrm{d}x = n \ln n - n + 1$. En corrigeant la comparaison par la méthode des trapèzes, on fait apparaître un terme $\frac{1}{2}\ln n$. On montre alors que la suite

est décroissante et converge vers une limite $c$ : l’écart $u_n - u_{n+1}$ est positif et se comporte comme $\frac{1}{12n^2}$, dont la somme est finie. Il en découle $n! \sim e^{c}\,\sqrt{n}\,\left(\frac{n}{e}\right)^{n}$.

2. La constante. Il reste à prouver que $e^{c} = \sqrt{2\pi}$, c’est-à-dire $c = \ln\sqrt{2\pi}$, environ 0,918938. On l’obtient grâce aux intégrales de Wallis, $\int_0^{\pi/2} \sin^n t\,\mathrm{d}t$, dont on connaît à la fois une formule exacte avec des factorielles et le comportement pour $n$ grand. Numériquement, $u_{1\,000\,000}$ vaut environ 0,918938 : la limite est bien là.

Une autre voie part de l’intégrale $n! = \int_0^{\infty} x^n e^{-x}\,\mathrm{d}x$ et l’approche, autour de son maximum, par une courbe en cloche : la constante $\sqrt{2\pi}$ vient alors de l’intégrale de Gauss. Ce procédé porte le nom de méthode de Laplace.

Un peu d’histoire

La formule réunit deux contributions. Abraham de Moivre, mathématicien français installé à Londres, étudie la loi binomiale, par exemple le nombre de « pile » obtenus sur un grand nombre de lancers d’une pièce. Il obtient une approximation de la forme $n! \approx C\, n^{n + 1/2} e^{-n}$, sans identifier exactement la constante $C$. James Stirling, mathématicien écossais, montre dans son ouvrage Methodus Differentialis (1730) que cette constante vaut $\sqrt{2\pi}$.

Le résultat porte le nom de Stirling, alors que de Moivre en avait obtenu la forme générale. De Moivre s’en est servi pour approcher la loi binomiale par une courbe en cloche, résultat publié en 1733, un cas particulier de ce qui deviendra le théorème central limite.

La formule s’étend aux nombres non entiers grâce à la fonction Gamma d’Euler, qui prolonge la factorielle : $\Gamma(x + 1) \sim \sqrt{2\pi x}\,(x/e)^{x}$ quand $x$ tend vers l’infini.

Ce que montre l’affiche

Comme $n!$ grandit trop vite pour être dessiné directement, l’affiche représente son logarithme décimal, qui correspond à peu près au nombre de chiffres. Pour chaque $n$ de 1 à 60, une barre colorée a pour hauteur $\log_{10} n!$, calculé exactement en additionnant les $\log_{10} k$ ; la dernière atteint environ 81,92, car $60!$ compte 82 chiffres. Par-dessus, un trait relie les valeurs du logarithme de l’approximation de Stirling : il épouse le sommet des barres. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• L’intégrale de Gauss, d’où vient le $\sqrt{\pi}$ de la formule.
• La loi normale, la courbe en cloche de de Moivre.
• Le nombre e, qui apparaît dans $(n/e)^n$.
• Les développements asymptotiques de la fonction Gamma (NIST DLMF, § 5.11) (nouvel onglet), en anglais.