L’équation de Schrödinger

Ce que dit la formule

En mécanique quantique non relativiste, l’état d’un système est décrit par une fonction d’onde $\psi$, à valeurs complexes, qui évolue selon

Pour une seule particule de masse $m$ placée dans un potentiel $V$, l’opérateur $\hat{H}$ s’écrit $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V$.

• $\psi(\mathbf{r}, t)$ : la fonction d’onde, définie en chaque point $\mathbf{r}$ et à chaque instant $t$. Elle n’est pas observable directement. Selon la règle de Born, $|\psi(\mathbf{r}, t)|^2$ est la densité de probabilité de trouver la particule au point $\mathbf{r}$ si l’on mesure sa position ; d’où la condition $\int |\psi|^2 = 1$.
• $i$ : le nombre imaginaire tel que $i^2 = -1$.
• $\hbar$ : la constante de Planck réduite, $\hbar = \frac{h}{2\pi}$, environ $1{,}054\,571\,817 \times 10^{-34}$ J·s. La constante de Planck $h = 6{,}626\,070\,15 \times 10^{-34}$ J·s est exacte depuis la redéfinition du Système international en 2019.
• $\frac{\partial \psi}{\partial t}$ : la variation de la fonction d’onde dans le temps.
• $\hat{H}$ : l’hamiltonien, l’opérateur associé à l’énergie totale. Son premier terme, avec le laplacien $\nabla^2$ (somme des dérivées secondes en $x$, $y$, $z$), correspond à l’énergie cinétique, le second à l’énergie potentielle.

Les états stationnaires. Quand $V$ ne dépend pas du temps, on cherche des solutions de la forme $\psi = \varphi(\mathbf{r})\, e^{-iEt/\hbar}$. Elles doivent vérifier $\hat{H} \varphi = E\, \varphi$ (l’équation « indépendante du temps »). Pour une particule confinée, seules certaines valeurs de $E$ conviennent : l’énergie est quantifiée.

Un exemple

Prenons une particule de masse $m$ enfermée dans une « boîte » à une dimension de largeur $L$ : $V = 0$ entre $0$ et $L$, et des parois infranchissables, donc $\varphi(0) = \varphi(L) = 0$. Les états stationnaires sont

Vérification : la dérivée seconde de $\varphi_n$ vaut $-\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 \varphi_n$, donc $-\frac{\hbar^2}{2m} \varphi_n'' = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2 m L^2}\, \varphi_n$. Le sinus s’annule bien en $0$ et en $L$.

Chiffrons pour un électron ($m \approx 9{,}109 \times 10^{-31}$ kg) dans une boîte de 1 nanomètre :

1. $E_1 = \frac{h^2}{8 m L^2} \approx 6{,}024 \times 10^{-20}$ J, soit environ 0,376 électronvolt (1 eV $= 1{,}602\,176\,634 \times 10^{-19}$ J).
2. $E_2 = 4 E_1 \approx 1{,}504$ eV ; l’écart $E_2 - E_1 = 3 E_1$ vaut environ 1,128 eV.
3. En retombant du niveau 2 au niveau 1, l’électron peut émettre un photon de longueur d’onde $\lambda = \frac{hc}{E_2 - E_1}$, environ 1 099 nanomètres : de l’infrarouge.

Ce modèle est très idéalisé, mais il montre l’essentiel : une particule confinée n’a accès qu’à des niveaux d’énergie précis, qui s’écartent comme $n^2$.

Pourquoi c’est vrai

L’équation de Schrödinger ne se démontre pas à partir de la physique classique : c’est un postulat de la mécanique quantique, accepté parce que ses prédictions sont confirmées par l’expérience.

On peut en revanche montrer comment on la devine ; ce n’est pas une preuve. Louis de Broglie avait proposé d’associer à une particule d’énergie $E$ et de quantité de mouvement $p$ une onde $e^{i(px - Et)/\hbar}$. Pour cette onde, $i\hbar\, \frac{\partial \psi}{\partial t} = E\, \psi$ et $-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{p^2}{2m}\, \psi$. Écrire que l’énergie est la somme de l’énergie cinétique $\frac{p^2}{2m}$ et de l’énergie potentielle $V$ conduit à l’équation.

Le premier grand succès fut l’atome d’hydrogène : l’équation retrouve, sans hypothèse supplémentaire, les niveaux d’énergie $E_n \approx -\frac{13{,}6 \text{ eV}}{n^2}$ qui expliquent les raies de son spectre.

Un peu d’histoire

En 1924, Louis de Broglie propose dans sa thèse que la matière, comme la lumière, a un comportement ondulatoire. Erwin Schrödinger, alors professeur à Zurich, cherche l’équation de ces ondes à la fin de 1925. En 1926, il publie dans les Annalen der Physik une série de quatre articles intitulée Quantisierung als Eigenwertproblem (« La quantification comme problème aux valeurs propres »). Le premier retrouve les niveaux d’énergie de l’hydrogène ; la forme dépendant du temps, celle de l’affiche, apparaît dans le quatrième. La même année, Max Born propose l’interprétation de $|\psi|^2$ comme densité de probabilité. Schrödinger partage le prix Nobel de physique 1933 avec Paul Dirac.

Le chat de Schrödinger est une expérience de pensée publiée en 1935 dans la revue Die Naturwissenschaften, dans l’article Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik (« La situation actuelle de la mécanique quantique »), écrit après des échanges avec Einstein. Un chat est enfermé dans une boîte d’acier avec un compteur Geiger et une infime quantité de matière radioactive : si un atome se désintègre dans l’heure, un mécanisme brise une fiole de poison. Appliquée à la lettre à tout le contenu de la boîte, la mécanique quantique décrirait au bout d’une heure un mélange, à parts égales, de chat vivant et de chat mort. Schrödinger présente lui-même ce cas comme absurde : il veut montrer qu’on ne peut pas transposer sans précaution la description quantique aux objets de notre échelle.

Aucune expérience n’a jamais mis de chat dans un tel état. Les physiciens observent aujourd’hui des superpositions sur des systèmes de plus en plus gros, jusqu’à des molécules de plusieurs dizaines d’atomes. Le phénomène de décohérence explique pourquoi les effets d’interférence disparaissent très vite pour un objet en contact avec son environnement ; la question de l’interprétation de la mesure, elle, reste débattue.

Ce que montre l’affiche

Le dessin représente la boîte de l’exemple : deux parois et un fond. Les cinq premiers états, de $n = 1$ à $n = 5$, y sont posés chacun à la hauteur de son énergie, proportionnelle à $n^2$ (1, 4, 9, 16, 25), d’où des marches de plus en plus espacées. Pour chacun, le programme trace la fonction d’onde, une sinusoïde qui compte $n$ demi-ondes, et colore en dessous la densité de probabilité $|\psi|^2$. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La loi de Planck, où apparaît pour la première fois la constante $h$.
• La formule d’Euler, qui donne son sens à l’onde complexe $e^{-iEt/\hbar}$.
• La série de Fourier : les états de la boîte sont exactement ses sinus.
• L’équation de la chaleur, qui a la même forme, au facteur $i$ près.

Sources : Équation de Schrödinger (Wikipédia) (nouvel onglet), Particle in a box (Wikipedia) (nouvel onglet), Schrödinger Equation (Wolfram ScienceWorld) (nouvel onglet), Schrödinger’s cat (Wikipedia) (nouvel onglet), constantes fondamentales (NIST) (nouvel onglet).