Les lois de Kepler

Ce que dit la formule

Johannes Kepler a tiré trois lois des observations des planètes. On les énonce aujourd’hui ainsi, pour une planète qui tourne autour du Soleil.

1. La loi des orbites. Chaque planète décrit une ellipse dont le Soleil occupe l’un des deux foyers (et non le centre).
2. La loi des aires. Le segment qui joint le Soleil à la planète balaie des aires égales en des temps égaux. La planète va donc plus vite quand elle est près du Soleil (au périhélie) que loin de lui (à l’aphélie).
3. La loi des périodes. Le carré de la période de révolution est proportionnel au cube du demi-grand axe de l’orbite, avec le même rapport pour toutes les planètes. Newton a donné la valeur de ce rapport :

• $T$ : la période de révolution (le temps d’un tour, mesuré par rapport aux étoiles), en secondes.
• $a$ : le demi-grand axe de l’ellipse, la moitié de sa plus grande largeur, en mètres. C’est aussi la moyenne de la plus petite et de la plus grande distance au Soleil.
• $G$ : la constante de gravitation, environ $6{,}674\,3 \times 10^{-11}$ m³·kg⁻¹·s⁻².
• $M$ : la masse du Soleil (ou de l’astre central), en kilogrammes.

Les conditions. Ces lois décrivent le mouvement de deux corps qui s’attirent selon la gravitation de Newton, sans autre perturbation. La formule ci-dessus néglige la masse $m$ de la planète devant celle du Soleil ; en toute rigueur, il faut remplacer $M$ par $M + m$. L’attraction des autres planètes déforme aussi un peu les orbites. Les mêmes lois valent pour tout corps en orbite autour d’un autre : la Lune et les satellites autour de la Terre, les lunes de Jupiter, avec la masse de l’astre central à la place de $M$.

En années et en unités astronomiques, la loi devient très simple pour le système solaire : la Terre a $T = 1$ an et $a \approx 1$ ua, donc $T^2 \approx a^3$ pour toutes les planètes.

Un exemple

Mars. D’après la NASA, le demi-grand axe de l’orbite de Mars vaut environ 1,523 66 ua. La troisième loi prédit une période de $1{,}523\,66^{3/2} \approx 1{,}880\,7$ an. Avec la valeur de $GM$ du Soleil donnée par l’Union astronomique internationale ($1{,}327\,124\,420\,99 \times 10^{20}$ m³/s²) et la formule exacte, on obtient environ 686,96 jours. La période mesurée, d’après la même fiche de la NASA, est de 686,98 jours : l’écart est d’environ 0,003 %.

Les huit planètes. Le même calcul fait pour toutes les planètes, de Mercure (0,387 ua, environ 88 jours) à Neptune (30,07 ua, environ 60 189 jours, soit près de 165 ans), redonne leurs périodes à mieux que 0,1 % près. Pour Jupiter, l’écart d’environ 0,06 % vient pour une bonne part de sa masse, qui n’est pas tout à fait négligeable : elle vaut environ un millième de celle du Soleil.

Peser le Soleil. On peut retourner la formule : $M = 4\pi^2 a^3 / (G T^2)$. Avec $a = 1$ ua $= 149\,597\,870\,700$ m et l’année sidérale $T \approx 365{,}256\,36$ jours, on trouve $M \approx 1{,}988 \times 10^{30}$ kg. C’est ainsi qu’on connaît la masse du Soleil, avec la précision de $G$.

La Station spatiale internationale, qui tourne à environ 420 km d’altitude, a une orbite presque circulaire de rayon $a \approx 6\,791$ km autour du centre de la Terre. Avec $GM$ de la Terre, $3{,}986 \times 10^{14}$ m³/s², la formule donne $T \approx 92{,}8$ minutes : un peu plus de quinze tours par jour.

Pourquoi c’est vrai

Kepler a trouvé ses lois par l’observation, sans en connaître la cause. Newton les a démontrées en 1687 à partir de deux principes : sa deuxième loi et la gravitation en $1/r^2$.

La loi des aires est la plus simple à justifier. La gravitation du Soleil est toujours dirigée vers le Soleil (une force centrale). Elle ne peut donc pas faire « tourner » la planète autour de lui : le moment cinétique $\vec{L} = m\, \vec{r} \times \vec{v}$ reste constant. Or, pendant un court instant $\mathrm{d}t$, le rayon Soleil-planète balaie un petit triangle d’aire $\frac{1}{2} \lvert \vec{r} \times \vec{v} \rvert\, \mathrm{d}t = \frac{L}{2m}\, \mathrm{d}t$. L’aire balayée par unité de temps est donc constante. Cette loi vaut pour toute force centrale, pas seulement pour la gravitation.

La loi des périodes, pour une orbite circulaire de rayon $r$, se démontre en une ligne : la gravitation fournit l’accélération centripète, $\frac{GM}{r^2} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$, d’où $\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM}$. Le détail est sur la page de la gravitation universelle.

La loi des orbites demande plus de calcul. L’idée : en combinant la conservation du moment cinétique et celle de l’énergie, on montre que la distance au Soleil s’écrit $r = \frac{p}{1 + e \cos\theta}$, l’équation d’une conique dont le Soleil est un foyer : une ellipse pour une planète liée au Soleil. La démonstration complète dépasse le cadre de cette page. Elle dépend de la forme exacte de la force : avec une attraction en $1/r^{2{,}2}$, par exemple, l’orbite ne se refermerait pas et son périhélie tournerait à chaque tour.

Un peu d’histoire

Tycho Brahe, astronome danois, avait accumulé à la fin du XVIe siècle les mesures de positions de planètes les plus précises de son temps. Johannes Kepler, devenu son assistant, hérite de ces observations et s’attaque à l’orbite de Mars, assez excentrique pour qu’un cercle ne convienne pas. Dans Astronomia nova, publié en 1609, il établit que Mars décrit une ellipse et énonce une première forme de la loi des aires.

La troisième loi vient presque dix ans plus tard : Kepler la trouve en 1618 et la publie en 1619 dans Harmonices Mundi. La loi des aires prend sa forme moderne en 1621, dans Epitome Astronomiae Copernicanae.

En 1687, dans les Principia, Isaac Newton montre que ces trois lois découlent de sa loi de la gravitation, et qu’elles s’appliquent aussi aux satellites et aux comètes. Il donne au passage la valeur du rapport $T^2/a^3$, qui dépend de la masse de l’astre central.

Ce que montre l’affiche

Le dessin principal place les huit planètes sur un graphique en échelles logarithmiques : en abscisse le demi-grand axe (en unités astronomiques), en ordonnée la période (en années), avec les valeurs de la NASA. La droite est calculée par la formule elle-même, avec la valeur de $GM$ du Soleil : en échelles logarithmiques, la loi $T^2 \propto a^3$ devient une droite de pente $3/2$, et les huit points tombent dessus. En haut à gauche, une orbite d’excentricité 0,6 (bien plus allongée que celle des planètes, pour que l’effet se voie) est découpée en douze secteurs parcourus chacun en un douzième de période : les positions sont calculées par l’équation de Kepler, et les secteurs ont tous la même aire, étroits loin du Soleil et larges près de lui. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La gravitation universelle, dont Newton a déduit les lois de Kepler.
• La deuxième loi de Newton, l’autre ingrédient de la démonstration.
• L’énergie cinétique : une planète gagne de l’énergie cinétique en s’approchant du Soleil.
• Les équations d’Einstein, qui expliquent le petit écart observé sur l’orbite de Mercure.

Sources : Lois de Kepler (Wikipédia) (nouvel onglet), Kepler’s laws of planetary motion (Wikipedia) (nouvel onglet), Kepler’s laws of planetary motion (Encyclopædia Britannica) (nouvel onglet), NASA, Planetary Fact Sheet (nouvel onglet), NASA, fiche de Mars (nouvel onglet), UAI, Current Best Estimates (nouvel onglet), Sidereal year (Wikipedia) (nouvel onglet).