L’effet Doppler

Ce que dit la formule

On considère une onde sonore qui se propage dans un milieu au repos (de l’air sans vent, par exemple), à la célérité $c$. Une source émet un son de fréquence $f_s$ ; un observateur le perçoit à la fréquence

• $f_s$ : la fréquence émise par la source, en hertz (Hz).
• $f_o$ : la fréquence perçue par l’observateur, en hertz.
• $c$ : la célérité du son dans le milieu, environ 343 m/s dans l’air à 20 °C.
• $v_s$ : la vitesse de la source, en m/s.
• $v_o$ : la vitesse de l’observateur, en m/s.

Les conventions de signe. Les deux vitesses sont mesurées par rapport au milieu (l’air), le long de la droite qui joint la source à l’observateur. Elles sont positives quand l’un va vers l’autre : $v_s > 0$ si la source avance vers l’observateur, $v_o > 0$ si l’observateur avance vers la source. Elles sont négatives quand ils s’éloignent. Si le mouvement se fait dans une autre direction, on ne garde que la composante de la vitesse le long de cette droite.

Les conditions. La formule suppose $v_s < c$ : une source qui va plus vite que le son rattrape ses propres ondes, et la formule ne s’applique plus (c’est le domaine du « bang » supersonique). Il faut aussi $v_o > -c$, sinon l’observateur qui s’enfuit n’est jamais rattrapé par le son.

Conséquence : on entend un son plus aigu ($f_o > f_s$) quand source et observateur se rapprochent, plus grave quand ils s’éloignent, et le même son quand aucun des deux ne bouge par rapport à l’air.

Et pour la lumière ? La lumière ne se propage pas dans un milieu : sa vitesse $c$ est la même pour tous les observateurs. Il n’y a plus de « vitesse par rapport à l’air », seule compte la vitesse relative $v$ entre la source et l’observateur, et la formule change. Pour un rapprochement le long de la ligne de visée, la relativité restreinte donne

où $c$ est cette fois la vitesse de la lumière. Cette formule est symétrique : peu importe qui bouge. Elle est exactement la moyenne géométrique des deux cas du son, $1 + \beta$ (observateur mobile) et $\frac{1}{1 - \beta}$ (source mobile), et les trois formules coïncident quand la vitesse est petite devant $c$. Pour la lumière, il existe en plus un effet Doppler transverse : même en passant à côté de l’observateur, une source rapide paraît avoir une fréquence plus basse, à cause du ralentissement de ses horloges. En astronomie, le décalage vers le rouge des étoiles qui s’éloignent et vers le bleu de celles qui s’approchent permet de mesurer leurs vitesses ; les radars de vitesse utilisent aussi l’effet Doppler, avec des ondes radio.

Un exemple

Une sirène émet un son de 440 Hz (le la du diapason). Elle est portée par un véhicule qui roule à 90 km/h, soit $v = 25$ m/s. On prend $c = 343$ m/s.

Le véhicule s’approche d’un piéton immobile ($v_s = 25$, $v_o = 0$) :

Il s’éloigne ($v_s = -25$) : $f_o = \frac{343}{368} \times 440 \approx 410{,}10$ Hz. Au moment où le véhicule passe, le piéton entend la note baisser d’environ 64 Hz, un écart plus grand qu’un ton entier.

C’est le piéton qui court vers la sirène immobile, à la même vitesse de 25 m/s ($v_o = 25$, $v_s = 0$) : $f_o = \frac{368}{343} \times 440 \approx 472{,}06$ Hz. Le résultat est proche du premier, mais pas égal : pour le son, il n’est pas indifférent que ce soit la source ou l’observateur qui bouge, parce que l’air sert de référence.

Pourquoi c’est vrai

La démonstration tient en deux étapes.

La source en mouvement resserre les crêtes. La source émet une crête toutes les périodes $T_s = 1/f_s$. Pendant ce temps, la crête précédente a parcouru $c\,T_s$ dans l’air, mais la source a avancé de $v_s T_s$ derrière elle. Devant la source, deux crêtes successives sont donc séparées de

Devant une sirène à 25 m/s, les crêtes sont espacées d’environ 0,722 m au lieu de 0,779 m à l’arrêt.

L’observateur en mouvement les rencontre plus souvent. Les crêtes avancent à la vitesse $c$ par rapport à l’air ; l’observateur va à leur rencontre à la vitesse $v_o$. Elles le croisent donc à la vitesse relative $c + v_o$, et il en reçoit $(c + v_o)/\lambda$ par seconde :

Les programmes de l’atelier ont vérifié cette formule sans l’utiliser : ils suivent une à une les crêtes émises par une source mobile jusqu’à un observateur mobile, dans 3 000 situations tirées au hasard, et mesurent le temps entre deux arrivées.

Un peu d’histoire

Le physicien autrichien Christian Doppler propose l’effet en 1842, dans un mémoire sur la couleur de la lumière des étoiles doubles (Über das farbige Licht der Doppelsterne). En 1845, le Néerlandais Christophorus Buys Ballot le vérifie pour le son : selon Wikipedia, des musiciens jouent une note étalonnée à bord d’un train de la ligne Utrecht-Amsterdam, et la note entendue monte quand le train approche, baisse quand il s’éloigne. En 1848, Hippolyte Fizeau décrit indépendamment l’effet pour la lumière, d’où le nom d’effet Doppler-Fizeau souvent employé en français. Le premier décalage mesuré sur une étoile est attribué à William Huggins, en 1868.

Ce que montre l’affiche

Le dessin montre les crêtes d’un son émis par une source qui avance vers la droite à la moitié de la vitesse du son. Chaque cercle est la crête émise une période plus tôt que la suivante : il est centré sur la position qu’avait la source à cet instant (les petits points sur l’axe) et son rayon est la distance parcourue depuis par le son. Devant la source, les crêtes se resserrent : un observateur immobile y perçoit, d’après la formule, une fréquence $2\,f_s$ ; derrière, elles s’espacent et la fréquence perçue tombe à $\tfrac{2}{3}\,f_s$. Le dessin est calculé par des programmes écrits pour l’atelier, à partir de la formule elle-même ; l’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La vitesse de la lumière, la constante de l’effet Doppler relativiste.
• La série de Fourier, pour décomposer un son en fréquences.
• La loi de Snell-Descartes, une autre loi des ondes qui changent de milieu.

Sources : Effet Doppler (Wikipédia) (nouvel onglet), Doppler effect (Wikipedia) (nouvel onglet), Relativistic Doppler effect (Wikipedia) (nouvel onglet), Doppler effect (Encyclopædia Britannica) (nouvel onglet), Speed of sound (Wikipedia) (nouvel onglet), C. H. D. Buys Ballot (Wikipedia) (nouvel onglet).