Le théorème de Thalès

Ce que dit le théorème

On considère deux droites sécantes en un point $A$. Les points $B$ et $M$ sont sur la première droite, les points $C$ et $N$ sur la seconde, tous distincts de $A$. Si les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors :

• $A$ est le point commun aux deux droites, le « sommet » de la figure.
• $AM$, $AB$, $AN$, $AC$, $MN$ et $BC$ sont des longueurs de segments, donc des nombres positifs.
• Chaque rapport compare une longueur du petit triangle $AMN$ à la longueur correspondante du grand triangle $ABC$. Leur valeur commune est le coefficient d’agrandissement ou de réduction qui fait passer d’un triangle à l’autre.

Le théorème s’applique dans deux configurations. Dans la plus courante, $M$ est sur le segment $[AB]$ et $N$ sur le segment $[AC]$ : le petit triangle est emboîté dans le grand. Dans la configuration « papillon », $M$ et $N$ sont de l’autre côté de $A$ par rapport à $B$ et $C$ : les deux triangles sont opposés par le sommet $A$ et la figure rappelle des ailes. Les mêmes égalités de longueurs restent vraies.

Une erreur fréquente consiste à écrire $\frac{AM}{MB} = \frac{MN}{BC}$. L’égalité $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ est juste elle aussi, mais le côté $MN$ se compare toujours au côté $BC$ dans le rapport $\frac{AM}{AB}$, jamais dans le rapport $\frac{AM}{MB}$.

La réciproque : si les points $A$, $M$, $B$ d’une part et $A$, $N$, $C$ d’autre part sont alignés dans le même ordre, et si $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$, alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. La condition d’ordre est indispensable : si $M$ est entre $A$ et $B$ mais que $A$ est entre $N$ et $C$, l’égalité des rapports ne suffit pas, les droites ne sont pas parallèles.

Attention au nom : en Allemagne et souvent dans les pays anglophones, « théorème de Thalès » désigne un autre résultat, celui du cercle : si $[BC]$ est un diamètre d’un cercle et $A$ un autre point de ce cercle, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Le théorème de cette page s’y appelle Strahlensatz ou intercept theorem.

Un exemple

Dans un triangle $ABC$, on place $M$ sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$ avec $(MN)$ parallèle à $(BC)$. On mesure $AM = 3$ cm, $AB = 5$ cm, $AN = 4{,}2$ cm et $MN = 2{,}4$ cm. On cherche $AC$ et $BC$.

1. Le rapport connu vaut $\frac{AM}{AB} = \frac{3}{5} = 0{,}6$.
2. D’après le théorème, $\frac{AN}{AC} = 0{,}6$, donc $AC = \frac{4{,}2}{0{,}6} = 7$ cm.
3. De même, $\frac{MN}{BC} = 0{,}6$, donc $BC = \frac{2{,}4}{0{,}6} = 4$ cm.

Vérification : $\frac{4{,}2}{7} = 0{,}6$ et $\frac{2{,}4}{4} = 0{,}6$.

Le théorème permet aussi de mesurer un arbre avec son ombre, par temps ensoleillé. On plante verticalement un bâton de 1,50 m de façon que le bout de son ombre coïncide avec le bout de l’ombre de l’arbre : ce point commun joue le rôle de $A$. Le haut du bâton et le haut de l’arbre sont alors sur un même rayon de soleil, qui aboutit en $A$ ; les pieds du bâton et de l’arbre sont sur le sol, alignés avec $A$ ; et le bâton, vertical, est parallèle à l’arbre, supposé bien droit. C’est exactement la configuration du théorème. Si l’ombre du bâton mesure 2 m et celle de l’arbre 12 m, alors la hauteur de l’arbre vaut $1{,}5 \times \frac{12}{2} = 9$ m.

Pour la réciproque, prenons $A$, $M$, $B$ et $A$, $N$, $C$ alignés dans cet ordre, avec $AM = 2$, $AB = 5$, $AN = 3{,}2$ et $AC = 8$. On trouve $\frac{2}{5} = 0{,}4$ et $\frac{3{,}2}{8} = 0{,}4$ : les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. Avec $AN = 3$ au lieu de $3{,}2$, on obtiendrait $\frac{3}{8} = 0{,}375 \neq 0{,}4$ : les droites ne seraient pas parallèles, car sinon le théorème direct imposerait l’égalité.

Pourquoi c’est vrai

Voici la démonstration par les aires, qui est celle d’Euclide, dans la configuration emboîtée ($M$ sur $[AB]$, $N$ sur $[AC]$). On note $\mathcal{A}(XYZ)$ l’aire du triangle $XYZ$.

1. Les triangles $MNB$ et $MNC$ ont la même base $[MN]$. Comme $(BC)$ est parallèle à $(MN)$, les points $B$ et $C$ sont à la même distance de la droite $(MN)$ : les deux triangles ont la même hauteur, donc $\mathcal{A}(MNB) = \mathcal{A}(MNC)$.
2. Les triangles $AMN$ et $ABN$ ont le même sommet $N$ et leurs bases $[AM]$ et $[AB]$ sont sur la même droite : même hauteur, donc $\frac{\mathcal{A}(AMN)}{\mathcal{A}(ABN)} = \frac{AM}{AB}$. De même, $\frac{\mathcal{A}(AMN)}{\mathcal{A}(ACM)} = \frac{AN}{AC}$.
3. Or $\mathcal{A}(ABN) = \mathcal{A}(AMN) + \mathcal{A}(MNB)$ et $\mathcal{A}(ACM) = \mathcal{A}(AMN) + \mathcal{A}(MNC)$. D’après le point 1, ces deux aires sont égales, donc $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$.

Pour le troisième rapport, on trace la parallèle à $(AB)$ passant par $N$ ; elle coupe $[BC]$ en $P$. Le quadrilatère $BMNP$ a ses côtés opposés parallèles : c’est un parallélogramme, donc $BP = MN$. En appliquant le résultat précédent depuis le sommet $C$ (avec $(NP)$ parallèle à $(AB)$), on obtient $\frac{CP}{CB} = \frac{CN}{CA}$. Donc $\frac{MN}{BC} = \frac{BP}{BC} = 1 - \frac{CP}{CB} = 1 - \frac{CN}{CA} = \frac{AN}{AC}$.

La configuration papillon se traite de la même manière, avec quelques adaptations de la figure.

Un peu d’histoire

Thalès de Milet est un savant grec du VIe siècle av. J.-C. dont aucun écrit n’a été conservé. Selon une tradition rapportée bien plus tard, notamment par Plutarque, Pline l’Ancien et Diogène Laërce, il aurait mesuré la hauteur d’une pyramide d’Égypte grâce à son ombre. Mais aucune source antique ne lui attribue le théorème des proportions, et les historiens ne retiennent pas cette attribution.

Le résultat est énoncé et démontré, avec sa réciproque, par Euclide vers 300 av. J.-C. : c’est la proposition 2 du livre VI des Éléments (nouvel onglet), démontrée par les aires comme ci-dessus.

Le nom « théorème de Thalès » pour ce résultat apparaît dans quelques manuels français de la fin du XIXe siècle et ne s’impose en France qu’au XXe siècle. L’historien Paul Tannery contestait déjà cette attribution en 1887.

Ce que montre l’affiche

Le dessin montre un triangle $ABC$ coupé par huit parallèles à son côté $[BC]$, qui partagent les côtés $[AB]$ et $[AC]$ en neuf parts égales ; une bande sur deux est teintée. La cinquième parallèle est mise en valeur et porte les points $M$ et $N$ : sur l’affiche, $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} = \frac{5}{9}$, soit environ 0,555. Toutes les positions sont calculées par des programmes écrits pour l’atelier, à partir de la formule elle-même. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• Le théorème de Pythagore, l’autre grand théorème de géométrie du collège.
• Le nombre d’or, qui naît lui aussi d’une égalité de rapports, celle du partage « en extrême et moyenne raison ».