L’intégrale de Gauss

Ce que dit la formule

• $e^{-x^2}$ est la fonction « en cloche » : elle vaut 1 en $x = 0$, est symétrique, et décroît très vite de part et d’autre (déjà environ 0,0183 en $x = 2$).
• $\int_{-\infty}^{+\infty} \ldots \,\mathrm{d}x$ désigne l’aire totale sous la courbe, sur toute la droite réelle. C’est une intégrale généralisée : on calcule l’aire entre $-a$ et $a$, puis on fait tendre $a$ vers l’infini. Elle converge, car pour $|x| \geq 1$ on a $e^{-x^2} \leq e^{-|x|}$, dont l’aire est finie.
• $\sqrt{\pi}$, environ 1,7724538509, est la valeur de cette aire.

Le résultat est remarquable parce que $e^{-x^2}$ n’a pas de primitive qui s’écrive avec les fonctions usuelles (polynômes, exponentielles, logarithmes, fonctions trigonométriques…). On ne peut donc pas calculer cette aire par la méthode habituelle ; il faut une astuce.

Par un simple changement de variable, on en déduit des formules très utilisées :

• pour tout réel $a > 0$, $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a x^2}\,\mathrm{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$ ;
• avec $a = \frac{1}{2}$, $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x = \sqrt{2\pi}$, environ 2,5066. C’est pourquoi la densité de la loi normale centrée réduite s’écrit $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2/2}$ : son aire totale vaut 1.
• Plus généralement, pour une moyenne $\mu$ et un écart type $\sigma > 0$, la translation $x \mapsto x - \mu$ ne change pas l’aire, et l’on obtient $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}\,\mathrm{d}x = \sigma\sqrt{2\pi}$. C’est l’origine du facteur $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ devant toute densité normale.

Par symétrie de la courbe, l’aire sur la demi-droite $[0, +\infty[$ vaut la moitié : $\int_0^{+\infty} e^{-x^2}\,\mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$, environ 0,886226.

Un exemple

L’aire se concentre presque entièrement près de 0. En calculant numériquement l’aire entre $-a$ et $a$ :

• entre $-1$ et $1$ : environ 1,4936, soit environ 84,27 % de $\sqrt{\pi}$ ;
• entre $-2$ et $2$ : environ 1,7641, soit environ 99,53 % ;
• entre $-3$ et $3$ : environ 1,77241, soit environ 99,997 %.

Au-delà de $|x| = 3$, il reste moins de 0,003 % de l’aire. La courbe ne touche jamais l’axe, mais ce qui reste sous sa « queue » devient négligeable très vite.

Ces proportions ont un nom : la fonction d’erreur, $\mathrm{erf}(a) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{a} e^{-t^2}\,\mathrm{d}t$, qui donne directement la part de l’aire comprise entre $-a$ et $a$ ; par exemple $\mathrm{erf}(1)$ vaut environ 0,842700. Elle n’a pas de formule avec les fonctions usuelles, mais elle est tabulée et programmée partout. En probabilités, elle donne la règle bien connue de la loi normale : une variable normale tombe à moins d’un écart type de sa moyenne avec une probabilité d’environ 68,26 %, à moins de deux écarts types environ 95,44 %, à moins de trois environ 99,73 %.

Pourquoi c’est vrai

La démonstration classique calcule le carré de l’intégrale, en passant à deux dimensions.

1. Le carré de l’intégrale est une intégrale double. Notons $I(a) = \int_{-a}^{a} e^{-x^2}\,\mathrm{d}x$. En écrivant ce produit avec deux variables $x$ et $y$ :

où le carré est $[-a, a] \times [-a, a]$ (théorème de Fubini). C’est le volume sous une « cloche » en trois dimensions, qui ne dépend que de la distance $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ au centre.

2. Sur un disque, le calcul devient facile. En coordonnées polaires, un petit morceau de surface a pour aire $r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ (un « rectangle » de côtés $\mathrm{d}r$ et $r\,\mathrm{d}\theta$). Sur le disque de rayon $R$ centré à l’origine :

C’est le facteur $r$ qui rend le calcul possible : $r\,e^{-r^2}$ a une primitive simple, $-\frac{1}{2}e^{-r^2}$, alors que $e^{-x^2}$ seule n’en a pas.

3. On encadre le carré par deux disques. Le carré contient le disque de rayon $a$ et est contenu dans le disque de rayon $a\sqrt{2}$. La fonction étant positive :

Pour $a = 2$, par exemple : environ $3{,}0840 \leq 3{,}1122 \leq 3{,}1405$.

4. On passe à la limite. Quand $a$ tend vers l’infini, les deux bornes tendent vers $\pi$, donc $I^2 = \pi$. Comme l’intégrale d’une fonction positive est positive, $I = \sqrt{\pi}$.

Le cœur du calcul se vérifie aussi numériquement : $\int_0^{\infty} r\,e^{-r^2}\,\mathrm{d}r$ vaut $\frac{1}{2}$, et $2\pi \times \frac{1}{2} = \pi$, environ 3,14159.

On écrit souvent ce raisonnement en une ligne, directement sur tout le plan. L’encadrement par les disques sert à le rendre rigoureux, car un carré n’est pas un disque.

Un peu d’histoire

Abraham de Moivre rencontre ce type d’intégrale en 1733, en approchant la loi binomiale par une courbe en cloche. La première démonstration connue de la valeur $\sqrt{\pi}$ est attribuée à Pierre-Simon de Laplace. Carl Friedrich Gauss utilise ce résultat en 1809 dans sa théorie des erreurs de mesure, en en attribuant le calcul à Laplace ; l’usage a pourtant retenu son nom, comme pour la « courbe de Gauss ». L’idée du passage en coordonnées polaires est généralement rapportée à Siméon Denis Poisson.

L’intégrale de Gauss donne aussi $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$ pour la fonction Gamma d’Euler, qui prolonge la factorielle : le changement de variable $t = u^2$ transforme $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \int_0^{\infty} t^{-1/2} e^{-t}\,\mathrm{d}t$ en $2\int_0^{\infty} e^{-u^2}\,\mathrm{d}u = \sqrt{\pi}$. C’est aussi d’elle que vient le $\sqrt{2\pi}$ de la formule de Stirling.

Ce que montre l’affiche

L’affiche trace la courbe $y = e^{-x^2}$ pour $x$ de $-3{,}2$ à $3{,}2$, avec l’aire sous la courbe en couleur, découpée par de fines lignes verticales tous les dixièmes. Par-dessus, un rectangle en pointillés, de hauteur 1 et de largeur $\sqrt{\pi}$ (de $-\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ à $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$, soit environ $\pm 0{,}886$), a exactement la même aire que toute la cloche. Les tracés sont calculés par un programme écrit pour l’atelier, et l’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La loi normale, dont la densité repose sur cette intégrale.
• La formule de Stirling et la transformée de Fourier, où la gaussienne joue un rôle central.
• L’équation de la chaleur, dont la solution fondamentale est une gaussienne.
• Gaussian Integral sur Wolfram MathWorld (nouvel onglet), en anglais.