La fonction exponentielle

Ce que dit la formule

La fonction exponentielle, notée $\exp$, est l’unique fonction $f$ définie et dérivable sur l’ensemble des réels qui vérifie à la fois $f' = f$ et $f(0) = 1$. On écrit $\exp(x) = e^x$, où $e = \exp(1)$ vaut environ 2,718 281 828. L’affiche réunit ses deux propriétés fondamentales : pour tous réels $x$, $a$ et $b$,

• $x$, $a$, $b$ : des nombres réels quelconques, positifs, négatifs ou nuls.
• $e^x$ : la valeur de la fonction exponentielle en $x$. Pour un entier $n$, elle coïncide avec la puissance habituelle $e \times e \times \cdots \times e$ ($n$ facteurs), ce qui justifie la notation.
• $\left(e^{x}\right)'$ : la dérivée de la fonction $x \mapsto e^x$. Dire qu’elle est égale à $e^x$ signifie qu’en tout point, la pente de la courbe est égale à sa hauteur.
• $e^{a+b} = e^a\, e^b$ : l’exponentielle transforme une somme en produit. C’est la « règle des puissances » prolongée à tous les exposants réels.

Conséquences directes. $e^0 = 1$ ; $e^x > 0$ pour tout $x$ ; $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$ ; $e^{x} \geq 1 + x$ pour tout $x$, la droite $y = 1 + x$ étant la tangente en 0. La fonction est strictement croissante, tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ et vers 0 quand $x$ tend vers $-\infty$ : l’axe des abscisses est une asymptote.

La condition $f(0) = 1$ compte. La fonction $3e^x$ est elle aussi égale à sa dérivée, mais elle vaut 3 en 0. Plus généralement, les fonctions égales à leur dérivée sont exactement les $x \mapsto C e^x$, avec $C$ constante. Et une autre base ne convient pas : la dérivée de $2^x$ vaut $2^x \ln 2$, environ $0{,}693 \times 2^x$.

Un exemple

Une somme devenue produit. $e^{0{,}5} \times e^{1{,}5} = e^{0{,}5 + 1{,}5} = e^2$, environ 7,389 056.

Une croissance de 3 % par unité de temps. Une quantité $f(t)$ dont la vitesse de variation est proportionnelle à elle-même, $f'(t) = 0{,}03\, f(t)$, avec $f(0) = 1\,000$, vaut $f(t) = 1\,000\, e^{0{,}03\, t}$. On le vérifie : la dérivée de $e^{0{,}03 t}$ est $0{,}03\, e^{0{,}03 t}$.

1. Au temps $t = 10$ : $f(10) = 1\,000\, e^{0{,}3}$, environ 1 349,858.
2. La quantité double quand $e^{0{,}03 t} = 2$, c’est-à-dire $t = \frac{\ln 2}{0{,}03}$, environ 23,104 9, où $\ln$ est le logarithme népérien, réciproque de l’exponentielle.

Une approximation par la tangente. Près de 0, $e^x \approx 1 + x$ : pour $x = 0{,}1$, cela donne 1,1, alors que $e^{0{,}1}$ vaut environ 1,105 170 9. En ajoutant le terme $\frac{x^2}{2}$, on obtient 1,105, à moins de 0,000 171 près. C’est le début de la formule de Taylor appliquée à l’exponentielle.

Pourquoi c’est vrai

On admet ici l’existence d’une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $f' = f$ et $f(0) = 1$ : on peut la construire comme la somme de la série $\sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n!}$ ou comme la limite de $\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n$, mais la démonstration complète dépasse le cadre de cette page. Tout le reste se démontre avec la seule règle « une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante ».

Elle ne s’annule jamais. Posons $g(x) = f(x)\, f(-x)$. Sa dérivée vaut $f'(x) f(-x) - f(x) f'(-x) = f(x) f(-x) - f(x) f(-x) = 0$. Donc $g$ est constante, égale à $g(0) = 1$ : $f(x)\, f(-x) = 1$, et $f(x)$ n’est jamais nul.

La somme devient produit. Fixons $b$ et posons $h(x) = \frac{f(x + b)}{f(x)}$. Sa dérivée vaut $\frac{f(x+b) f(x) - f(x+b) f(x)}{f(x)^2} = 0$. Donc $h$ est constante, égale à $h(0) = f(b)$ : $f(x + b) = f(x)\, f(b)$.

Elle est unique. Si $k$ vérifie aussi $k' = k$ et $k(0) = 1$, la dérivée de $\frac{k}{f}$ vaut $\frac{k f - k f}{f^2} = 0$, donc $\frac{k}{f}$ est constante, égale à 1 : $k = f$.

La pente égale la hauteur. La tangente à la courbe au point d’abscisse $a$ a pour équation $y = e^a (x - a) + e^a$. Elle coupe l’axe des abscisses quand $x - a + 1 = 0$, soit en $x = a - 1$ : toujours une unité plus à gauche. C’est ce que montre l’affiche.

Les programmes de l’atelier vérifient tout cela par le calcul : dérivée numérique égale à la fonction en 10 000 points, $e^{a+b} = e^a e^b$ sur 10 000 couples, solution de $y' = y$ calculée pas à pas (méthode de Runge-Kutta) qui retrouve $e$ en $x = 1$, série $\sum \frac{x^n}{n!}$, et les contre-exemples $2^x$ et $3e^x$.

Un peu d’histoire

La première apparition connue de la fonction exponentielle est généralement rapportée à Jacques Bernoulli, qui étudie en 1683 les intérêts composés : en capitalisant de plus en plus souvent, on tombe sur la limite de $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$, le nombre que l’on note aujourd’hui $e$.

C’est Leonhard Euler qui fait de l’exponentielle une fonction à part entière. Dans son Introductio in analysin infinitorum, publiée en 1748, il introduit les puissances $a^x$ pour un exposant réel quelconque, présente le logarithme comme leur réciproque, définit $e$ comme le nombre dont le logarithme « hyperbolique » vaut 1 et donne le développement de l’exponentielle en série. Dans le même ouvrage, il relie l’exponentielle aux fonctions trigonométriques : c’est la formule d’Euler.

Ce que montre l’affiche

Le dessin trace la courbe $y = e^x$ entre $x = -3{,}25$ et $x = 1{,}95$, et ses tangentes aux points d’abscisses $-1{,}5$, $0$ et $1{,}5$. Sous chaque tangente, un triangle coloré a pour hauteur $e^a$ (écrite près du point) et pour base le segment qui va du pied de la tangente au pied de la verticale ; le programme calcule où chaque tangente coupe l’axe, et la base mesure toujours exactement 1, soulignée et marquée « 1 » sous l’axe. La pente de chaque tangente, hauteur divisée par base, est donc égale à la hauteur $e^a$ : c’est la formule $\left(e^x\right)' = e^x$ rendue visible. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• Le nombre e, la valeur de l’exponentielle en 1.
• Le logarithme népérien, sa fonction réciproque.
• La dérivée, pour la notion de pente d’une tangente.
• La formule de Taylor, qui retrouve la série $\sum \frac{x^n}{n!}$.
• La formule d’Euler, l’exponentielle des nombres imaginaires.

Sources : Fonction exponentielle (Wikipédia) (nouvel onglet), Exponential function (Wikipedia) (nouvel onglet), Exponential Function (MathWorld) (nouvel onglet), NIST DLMF, § 4.2 (nouvel onglet), Introductio in analysin infinitorum (Wikipedia) (nouvel onglet).