La formule de Moivre

Ce que dit la formule

Pour tout nombre réel $\theta$ et tout entier relatif $n$ (positif, négatif ou nul) :

• $i$ est l’unité imaginaire : $i^2 = -1$.
• $\cos\theta + i\sin\theta$ est le nombre complexe de module 1 et d’argument $\theta$ : dans le plan complexe, c’est le point du cercle de rayon 1 repéré par l’angle $\theta$, mesuré en radians depuis l’axe des réels.
• $n$ est l’exposant, un entier. Pour $n = 0$, les deux membres valent 1 ; pour $n < 0$, la puissance désigne l’inverse : $z^{-n} = 1/z^n$.

En clair : sur le cercle de rayon 1, prendre la puissance $n$ revient à faire tourner $n$ fois du même angle $\theta$. Avec la formule d’Euler, $\cos\theta + i\sin\theta = e^{i\theta}$, la formule de Moivre s’écrit simplement $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$.

Pour un module quelconque. Si $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r > 0$, alors $z^n = r^n\big(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\big)$ : on élève le module à la puissance $n$ et on multiplie l’argument par $n$. Sans le facteur $r^n$, l’égalité est fausse dès que $r \neq 1$.

L’exposant doit être entier. Pour $n = \frac{1}{2}$, par exemple, la formule ne veut plus rien dire de précis : $\theta = 0$ et $\theta = 2\pi$ désignent le même nombre, 1, mais $\cos\frac{\theta}{2} + i\sin\frac{\theta}{2}$ vaut $1$ dans le premier cas et $-1$ dans le second. Un nombre complexe non nul a en effet deux racines carrées, et plus généralement $n$ racines $n$-ièmes.

Les racines $n$-ièmes de l’unité. Pour $n \geq 1$, l’équation $z^n = 1$ a exactement $n$ solutions complexes :

La formule de Moivre montre que chacune convient : $\omega_k^n = \cos(2k\pi) + i\sin(2k\pi) = 1$. Ces $n$ points sont les sommets d’un polygone régulier inscrit dans le cercle de rayon 1, avec un sommet en 1. Pour $n \geq 2$, leur somme est nulle.

Un exemple

Une puissance sans développer. Calculons $(1 + i)^8$. Le nombre $1 + i$ a pour module $\sqrt{2}$ et pour argument $\frac{\pi}{4}$ :

Huit multiplications successives par $1 + i$ donnent bien 16.

Une puissance élevée. Pour $z = \cos\frac{\pi}{9} + i\sin\frac{\pi}{9}$, le nombre de module 1 et d’angle $20^\circ$, la formule donne sans aucun calcul $z^9 = \cos\pi + i\sin\pi = -1$ : neuf rotations de $20^\circ$ font un demi-tour. Développer $(\cos 20^\circ + i\sin 20^\circ)^9$ à la main demanderait au contraire de calculer et de regrouper dix termes.

Des formules de trigonométrie. Pour $n = 3$, on développe le membre de gauche, en se souvenant que $i^2 = -1$ et $i^3 = -i$ :

En identifiant parties réelles et imaginaires, puis en remplaçant $\sin^2\theta$ par $1 - \cos^2\theta$ (et $\cos^2\theta$ par $1 - \sin^2\theta$) :

Pour $\theta = 0{,}5$, les deux membres de la première égalité valent environ $0{,}070\,737$.

Les racines cubiques. Les racines cubiques de l’unité sont $1$, $-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ (pour $k = 0, 1, 2$) ; les racines sixièmes sont $1$, $-1$ et les quatre nombres $\pm\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}$, sommets d’un hexagone régulier. Celles de $8i = 8\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)$ s’obtiennent en prenant la racine cubique du module, 2, et le tiers de l’argument, à $\frac{2\pi}{3}$ près : $\sqrt{3} + i$, $-\sqrt{3} + i$ et $-2i$. On vérifie par exemple que $(\sqrt{3} + i)^3 = 8i$.

Pourquoi c’est vrai

Le cœur du raisonnement est la règle du produit : multiplier deux nombres de module 1 ajoute leurs angles. En développant, puis en utilisant les formules d’addition du cosinus et du sinus,

Récurrence pour $n \geq 0$. Pour $n = 0$, les deux membres valent 1. Si la formule est vraie pour un entier $n \geq 0$, on multiplie les deux membres par $\cos\theta + i\sin\theta$ ; la règle du produit, avec $a = n\theta$ et $b = \theta$, donne $\cos((n+1)\theta) + i\sin((n+1)\theta)$. La formule est donc vraie pour tout entier naturel.

Exposants négatifs. Le produit $(\cos\theta + i\sin\theta)(\cos\theta - i\sin\theta)$ vaut $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$. L’inverse de $\cos\theta + i\sin\theta$ est donc $\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)$, et la formule pour $n \geq 0$, appliquée à l’angle $-\theta$, donne le cas des exposants négatifs.

L’atelier a contrôlé l’égalité sur 10 000 tirages ($\theta$ réel entre $-10$ et $10$, $n$ entier entre $-30$ et $30$), en calculant la puissance par multiplications répétées, sans trigonométrie.

Un peu d’histoire

Abraham de Moivre (1667-1754) naît à Vitry-le-François, en Champagne. Protestant, il quitte la France pour l’Angleterre au moment des persécutions contre les huguenots et vit à Londres de leçons de mathématiques. Il est aussi connu pour ses travaux sur les probabilités, où apparaît l’approximation par la loi normale.

La formule qui porte son nom n’apparaît pas telle quelle dans ses écrits. Elle est présente de façon implicite dans ses travaux sur les racines $n$-ièmes, dès un article des Philosophical Transactions de 1707, puis dans ses Miscellanea Analytica (1730). C’est Leonhard Euler qui l’écrit sous sa forme actuelle, en 1748, dans son Introductio in analysin infinitorum, l’ouvrage où figure aussi la formule $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$.

Ce que montre l’affiche

Le cercle de rayon 1 du plan complexe, avec ses douze racines douzièmes de l’unité. Pour $k = 1$ à $5$, le programme part de 1 et multiplie sans cesse par $z = \cos\frac{2k\pi}{12} + i\sin\frac{2k\pi}{12}$, sans utiliser la formule : les points obtenus retombent toujours sur ces douze racines, et reviennent à 1 après 12, 6, 4, 3 et 12 pas. Ils tracent ainsi un dodécagone, un hexagone, un carré, un triangle et une étoile à douze branches. Le dessin est calculé par des programmes écrits pour l’atelier ; l’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La formule d’Euler, qui écrit $\cos\theta + i\sin\theta$ sous la forme $e^{i\theta}$.
• L’identité d’Euler, le cas $\theta = \pi$ : $e^{i\pi} + 1 = 0$.
• Le cercle trigonométrique, où vivent les nombres de module 1.
• Les quaternions, qui prolongent les nombres complexes à quatre dimensions.

Sources : Formule de Moivre (Wikipédia) (nouvel onglet), De Moivre’s formula (Wikipedia) (nouvel onglet), de Moivre’s Identity (Wolfram MathWorld) (nouvel onglet), Root of unity (Wikipedia) (nouvel onglet), Abraham de Moivre (Wikipedia) (nouvel onglet).