La loi de Hooke

Ce que dit la formule

Un ressort a une longueur à vide $\ell_0$, celle qu’il prend quand rien ne le tire ni ne le pousse. Quand sa longueur devient $\ell$, on note $x = \ell - \ell_0$ son allongement. La loi de Hooke dit que le ressort exerce alors, sur ce qui est accroché à son extrémité, la force

• $F$ : la force exercée par le ressort, en newtons (N), comptée le long de l’axe du ressort, dans le sens de l’allongement.
• $k$ : la raideur du ressort (ou constante de raideur), en newtons par mètre (N/m). Plus $k$ est grand, plus le ressort est dur.
• $x$ : l’allongement, en mètres (m). Il est positif si le ressort est étiré, négatif s’il est comprimé.

Le signe moins dit que la force est une force de rappel : elle s’oppose toujours à la déformation. Un ressort étiré ($x > 0$) tire vers sa position de repos ($F < 0$) ; un ressort comprimé ($x < 0$) repousse ($F > 0$). Pour étirer le ressort, il faut donc exercer sur lui la force opposée, $+kx$.

La condition essentielle : le domaine élastique. La loi de Hooke n’est valable que pour des déformations assez petites, dans le domaine élastique : quand on relâche le ressort, il reprend exactement sa longueur à vide. Au-delà de la limite d’élasticité, il se déforme de façon permanente ou casse, et la force n’est plus proportionnelle à l’allongement. Un ressort comprimé jusqu’à ce que ses spires se touchent ne suit plus la loi non plus. C’est une loi approchée, mais excellente dans son domaine.

Un exemple

Prenons un ressort de raideur $k = 20$ N/m, suspendu verticalement, et accrochons-y une masse de 100 g. À l’équilibre, la force de rappel compense le poids $mg$, avec la pesanteur normale $g = 9{,}806\,65$ m/s² :

soit environ 4,9 cm. Avec trois masses de 100 g, l’allongement est trois fois plus grand : environ 14,7 cm. C’est le principe du dynamomètre et du peson : on lit une force sur une graduation de longueur.

L’énergie stockée. Pour étirer le ressort de $x$, il faut fournir le travail $\int_0^x k\, s\, \mathrm{d}s = \frac{1}{2} k x^2$. Pour un allongement de 4,9 cm, cela fait environ 0,024 J.

Les oscillations. Si l’on écarte la masse de sa position d’équilibre puis qu’on la lâche, elle oscille avec la période $T = 2\pi \sqrt{m/k}$, ici environ 0,444 s, quelle que soit l’amplitude tant que la loi de Hooke s’applique. C’est cette propriété qui rend les ressorts utiles en horlogerie.

Deux ressorts. Deux ressorts de raideurs $k_1$ et $k_2$ accrochés côte à côte (en parallèle) se comportent comme un seul ressort de raideur $k_1 + k_2$ ; accrochés bout à bout (en série), comme un ressort de raideur $\frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$. Avec deux ressorts de 20 N/m, on obtient 40 N/m en parallèle et 10 N/m en série.

Pourquoi c’est vrai

La loi de Hooke n’est pas un théorème : c’est une loi expérimentale, vérifiée par la mesure dans le domaine élastique. On peut toutefois comprendre pourquoi elle marche si souvent.

L’idée. Un solide au repos est dans une position d’équilibre stable : son énergie de déformation $U(x)$ y est minimale. Près d’un minimum, une fonction régulière ressemble à une parabole : $U(x) \approx U(0) + \frac{1}{2} k x^2$, avec $k = U''(0) > 0$ (le terme en $x$ est nul, car la dérivée s’annule au minimum). La force, qui est l’opposé de la dérivée de l’énergie, vaut alors $F = -U'(x) \approx -k x$. Toute petite déformation autour d’un équilibre stable suit donc, en première approximation, une loi de Hooke. Les termes suivants, en $x^2$ ou $x^3$, deviennent importants pour de grandes déformations : la loi cesse alors d’être valable.

Pour les matériaux, la même idée s’écrit avec des grandeurs qui ne dépendent pas de la forme de l’objet : la contrainte $\sigma$ (une force par unité de surface) est proportionnelle à la déformation relative $\varepsilon$, soit $\sigma = E\, \varepsilon$, où $E$ est le module d’Young du matériau.

Un peu d’histoire

Robert Hooke, savant anglais contemporain de Newton, énonce la loi d’abord sous la forme d’une anagramme latine, publiée en 1676, une façon courante à l’époque de prendre date sans dévoiler sa découverte. Il en donne la solution en 1678 dans ses Lectures de Potentia Restitutiva : ut tensio, sic vis, « telle extension, telle force ». Dans ce même texte, Hooke affirme connaître la loi depuis 1660.

Les ressorts intéressaient alors les horlogers : l’invention du ressort spiral des montres est disputée entre Hooke et Christiaan Huygens. La forme générale pour les matériaux, avec un module d’élasticité, vient plus tard : l’idée apparaît chez Leonhard Euler en 1727, Giordano Riccati la met en œuvre expérimentalement en 1782, et le module porte aujourd’hui le nom du Britannique Thomas Young, savant du XIXe siècle.

Ce que montre l’affiche

Le dessin reproduit l’expérience classique du laboratoire. Six ressorts identiques, de raideur 20 N/m, pendent d’un même support ; le premier est à vide, les suivants portent de une à cinq masses de 100 g. Pour chacun, le programme écrit pour l’atelier calcule l’allongement à l’équilibre $x = n\,m\,g/k$ ; il est marqué par un trait de couleur sous la ligne pointillée de la longueur à vide $\ell_0$, et sa valeur est inscrite en bas (de 4,9 à 24,5 cm, valeurs tronquées). La droite pointillée oblique passe par le bas de tous les ressorts : les allongements sont proportionnels à la charge, comme le dit la loi. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La deuxième loi de Newton, qui transforme la force de rappel en oscillations.
• L’énergie cinétique, qui s’échange avec l’énergie du ressort pendant les oscillations.
• La poussée d’Archimède, un autre équilibre entre une force et un poids.
• La loi d’Ohm, une autre loi de proportionnalité valable dans un domaine limité.

Sources : Loi de Hooke (Wikipédia) (nouvel onglet), Hooke’s law (Wikipedia) (nouvel onglet), Hooke’s law (Encyclopædia Britannica) (nouvel onglet), Hooke’s Law (Wolfram ScienceWorld) (nouvel onglet).