Le nombre d’or

Ce que dit la formule

On partage un segment en deux morceaux inégaux. On dit, depuis Euclide, que le partage se fait « en extrême et moyenne raison » lorsque le rapport du segment entier au grand morceau est égal au rapport du grand morceau au petit. Ce rapport commun est le nombre d’or :

• $\varphi$ (phi, prononcé « fi ») est le nom usuel du nombre d’or.
• $\sqrt{5}$ est la racine carrée de 5, le nombre positif dont le carré vaut 5, environ 2,236 067 977.
• De façon équivalente, $\varphi$ est la solution positive de l’équation $x^2 = x + 1$.

Cette équation donne au nombre d’or des propriétés surprenantes. Son carré s’obtient en lui ajoutant 1 : $\varphi^2 = \varphi + 1$, environ 2,618 033 988. Son inverse s’obtient en lui retirant 1 : $\frac{1}{\varphi} = \varphi - 1$, environ 0,618 033 988. Le nombre d’or est irrationnel : il ne s’écrit pas comme une fraction d’entiers, parce que $\sqrt{5}$ ne s’écrit pas ainsi.

Un exemple

Coupons un segment de 100 cm en extrême et moyenne raison.

1. Le grand morceau mesure $\frac{100}{\varphi}$, soit environ 61,80 cm.
2. Le petit morceau mesure le reste, $100 - \frac{100}{\varphi}$, soit environ 38,19 cm.
3. Vérification : $100 \div 61{,}803\ldots \approx 1{,}618$ et $61{,}803\ldots \div 38{,}196\ldots \approx 1{,}618$. Les deux rapports sont bien égaux à $\varphi$.

Le nombre d’or apparaît aussi dans la suite de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…, où chaque terme est la somme des deux précédents. Le quotient de deux termes consécutifs se rapproche de $\varphi$, alternativement par excès et par défaut :

• $\frac{8}{5} = 1{,}6$ et $\frac{13}{8} = 1{,}625$ ;
• $\frac{21}{13} \approx 1{,}6153$ et $\frac{34}{21} \approx 1{,}6190$ ;
• $\frac{55}{34} \approx 1{,}6176$ et $\frac{89}{55} \approx 1{,}6181$.

Le lien est même exact. L’autre solution de $x^2 = x + 1$, notée $\psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$, environ $-0{,}618$, est égale à $-\frac{1}{\varphi}$. La formule de Binet donne alors chaque terme de la suite de Fibonacci (en numérotant $F_1 = F_2 = 1$) : $F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}$. Par exemple, elle donne bien $F_{10} = 55$. Comme $\psi^n$ devient vite minuscule, $F_n$ est l’entier le plus proche de $\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}$ : pour $n = 10$, ce quotient vaut environ 55,003.

Pourquoi c’est vrai

Prenons pour unité le petit morceau et notons $x$ la longueur du grand. Le segment entier mesure alors $x + 1$, et la définition s’écrit :

En multipliant les deux membres par $x$, on obtient $x + 1 = x^2$, c’est-à-dire $x^2 - x - 1 = 0$. Le discriminant de cette équation du second degré vaut $(-1)^2 - 4 \times 1 \times (-1) = 5$. Ses deux solutions sont donc $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, environ 1,618, et $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$, environ $-0{,}618$. Une longueur étant positive, seule la première convient : c’est $\varphi$.

En divisant $\varphi^2 = \varphi + 1$ par $\varphi$, on obtient $\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi}$, d’où $\frac{1}{\varphi} = \varphi - 1$.

Cette dernière égalité explique le rectangle d’or, de côtés $\varphi$ et 1. Si l’on en retire un carré de côté 1, il reste un rectangle de côtés 1 et $\varphi - 1 = \frac{1}{\varphi}$. Le rapport de ses côtés vaut $1 \div \frac{1}{\varphi} = \varphi$ : c’est encore un rectangle d’or, plus petit. On peut recommencer indéfiniment.

La même égalité $\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi}$ donne une écriture étonnante. En remplaçant indéfiniment $\varphi$ par $1 + \frac{1}{\varphi}$ dans le membre de droite, on obtient la fraction continue

Si l’on s’arrête en route, on trouve successivement $1$, $2$, $\frac{3}{2}$, $\frac{5}{3}$, $\frac{8}{5}$, $\frac{13}{8}$… : exactement les quotients de termes consécutifs de la suite de Fibonacci. De même, $\varphi = \sqrt{1 + \varphi}$ conduit à $\varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}}$.

Le nombre d’or se glisse aussi dans le théorème de Pythagore : comme $1 + \varphi = \varphi^2$, le triangle de côtés $1$, $\sqrt{\varphi}$ et $\varphi$ est rectangle, d’après la réciproque du théorème. On l’appelle parfois triangle de Kepler. Enfin, on montre que dans un pentagone régulier, le rapport d’une diagonale au côté est égal à $\varphi$.

Un peu d’histoire

La plus ancienne définition écrite qui nous soit parvenue est celle d’Euclide, vers 300 av. J.-C. : le livre VI des Éléments définit le partage « en extrême et moyenne raison », et la proposition 30 de ce livre (nouvel onglet) montre comment le construire. Euclide s’en sert notamment pour construire le pentagone régulier et certains polyèdres réguliers.

En 1509, le moine Luca Pacioli publie De divina proportione, illustré par Léonard de Vinci ; il y nomme ce rapport « divine proportion ». En 1597, une lettre de Michael Maestlin à Johannes Kepler en donne une valeur décimale approchée. L’expression « section dorée » (goldener Schnitt) se répand en Allemagne au XIXe siècle ; Martin Ohm l’emploie en 1835. La lettre $\varphi$ a été choisie au début du XXe siècle par le mathématicien américain Mark Barr, en hommage au sculpteur grec Phidias. En France, l’expression « nombre d’or » a été popularisée dans l’entre-deux-guerres par les livres de Matila Ghyka.

On lit souvent que le Parthénon, la pyramide de Khéops, les proportions du corps humain ou la coquille du nautile suivent le nombre d’or. Ces affirmations sont contestées : les mesures publiées ne les confirment pas, ou les écarts constatés sont trop grands pour conclure. Le mathématicien George Markowsky en a fait l’examen critique dans « Misconceptions about the Golden Ratio » (The College Mathematics Journal, vol. 23, n° 1, 1992), et l’article Golden ratio de Wikipédia en anglais (nouvel onglet) résume l’état des connaissances.

Ce que montre l’affiche

Le dessin part d’un rectangle d’or et en retire successivement dix carrés, chacun $\varphi$ fois plus petit que le précédent, en tournant autour du rectangle. Le programme trace ensuite la véritable spirale logarithmique qui passe par les coins de ces carrés et grandit de $\varphi$ à chaque quart de tour. Ce n’est pas l’approximation habituelle faite d’arcs de cercle raccordés : c’est la courbe exacte, calculée par des programmes écrits pour l’atelier, à partir de la formule elle-même. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La suite de Fibonacci, dont les quotients successifs tendent vers $\varphi$.
• La spirale logarithmique, la courbe tracée sur l’affiche.
• La relation d’Euler des polyèdres : le nombre d’or apparaît dans les coordonnées des sommets du dodécaèdre et de l’icosaèdre.