Le cercle trigonométrique

Ce que dit la formule

On se place dans un repère orthonormé d’origine $O$. Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon 1, parcouru dans le sens direct, c’est-à-dire le sens inverse des aiguilles d’une montre. On part du point $I$ de coordonnées $(1\,;\,0)$.

À tout nombre réel $\theta$, on associe un point $M$ du cercle : on parcourt depuis $I$ un arc de longueur $|\theta|$, dans le sens direct si $\theta$ est positif, dans l’autre sens s’il est négatif. Par définition, le cosinus de $\theta$ est l’abscisse de $M$ et le sinus de $\theta$ est son ordonnée : $M$ a pour coordonnées $(\cos\theta\,;\,\sin\theta)$. Pour tout réel $\theta$ :

• $\theta$ est la mesure de l’angle $\widehat{IOM}$ en radians : c’est la longueur de l’arc parcouru sur le cercle de rayon 1. Un tour complet mesure $2\pi$ radians, soit 360° ; un demi-tour, $\pi$ radians, soit 180°.
• $\cos\theta$ et $\sin\theta$ sont des nombres compris entre $-1$ et $1$, puisque $M$ reste sur un cercle de rayon 1.
• $\cos^2\theta$ est une écriture abrégée de $(\cos\theta)^2$, le carré du cosinus ; de même pour $\sin^2\theta$.

Deux conséquences se lisent directement sur le cercle. Ajouter un tour complet ramène au même point, donc $\cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta$ et $\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta$ : cosinus et sinus sont périodiques de période $2\pi$. Et le symétrique de $M$ par rapport à l’axe des abscisses correspond à $-\theta$, d’où $\cos(-\theta) = \cos\theta$ et $\sin(-\theta) = -\sin\theta$.

Les valeurs remarquables du premier quart de tour sont à connaître :

• $\theta = 0$ : $\cos\theta = 1$ et $\sin\theta = 0$ ;
• $\theta = \frac{\pi}{6}$ (30°) : $\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\theta = \frac{1}{2}$ ;
• $\theta = \frac{\pi}{4}$ (45°) : $\cos\theta = \sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ;
• $\theta = \frac{\pi}{3}$ (60°) : $\cos\theta = \frac{1}{2}$ et $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ;
• $\theta = \frac{\pi}{2}$ (90°) : $\cos\theta = 0$ et $\sin\theta = 1$.

Les autres angles remarquables s’en déduisent par symétrie : seuls les signes changent d’un quart de tour à l’autre.

Un exemple

Un angle remarquable. Prenons $\theta = \frac{5\pi}{6}$, soit 150°. Le point $M$ est le symétrique, par rapport à l’axe des ordonnées, du point associé à $\frac{\pi}{6}$ : son abscisse change de signe, son ordonnée ne change pas. Donc $\cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$. On vérifie la formule : $\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$.

Retrouver un cosinus à partir d’un sinus. On sait que $\sin\theta = 0{,}6$ et que $\theta$ est compris entre $\frac{\pi}{2}$ et $\pi$. Que vaut $\cos\theta$ ?

1. La formule donne $\cos^2\theta = 1 - 0{,}6^2 = 1 - 0{,}36 = 0{,}64$.
2. Donc $\cos\theta = 0{,}8$ ou $\cos\theta = -0{,}8$.
3. Entre $\frac{\pi}{2}$ et $\pi$, le point $M$ est à gauche de l’axe des ordonnées : son abscisse est négative. Donc $\cos\theta = -0{,}8$.

L’angle vaut ici environ 2,498 radians, soit environ 143,13°. La formule seule donne le carré du cosinus ; c’est la position du point sur le cercle qui fixe le signe.

Pourquoi c’est vrai

Soit $H$ le pied de la perpendiculaire à l’axe des abscisses menée depuis $M$. Le point $H$ a pour coordonnées $(\cos\theta\,;\,0)$. Si $M$ n’est sur aucun des deux axes, le triangle $OHM$ est rectangle en $H$, et ses côtés de l’angle droit mesurent $|\cos\theta|$ et $|\sin\theta|$. Son hypoténuse $[OM]$ est un rayon du cercle : elle mesure 1. Le théorème de Pythagore donne alors

et comme un carré ne dépend pas du signe, $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$. Si $M$ est sur un axe, l’une des coordonnées est nulle et l’autre vaut $1$ ou $-1$ : l’égalité est encore vraie.

Autrement dit, la formule n’est rien d’autre que l’équation du cercle de centre $O$ et de rayon 1, $x^2 + y^2 = 1$, écrite pour le point $M$. Le rayon 1 est essentiel : sur un cercle de rayon $R$, les coordonnées du point valent $R\cos\theta$ et $R\sin\theta$, et leurs carrés ont pour somme $R^2$.

Un peu d’histoire

Les astronomes grecs ne parlaient pas de sinus mais de cordes : la longueur du segment qui joint les deux extrémités d’un arc. Hipparque, au IIe siècle av. J.-C., aurait dressé une première table de cordes, aujourd’hui perdue. Celle de Ptolémée, dans l’Almageste (IIe siècle de notre ère), nous est parvenue ; elle utilise un cercle de 120 parties de diamètre, et non de rayon 1.

Les traités d’astronomie indiens de l’époque Gupta, comme l’Aryabhatiya, travaillent avec la demi-corde, appelée jyā : c’est l’ancêtre direct du sinus. Le mot est passé en arabe, puis en latin, où une lecture fautive de l’écriture arabe a donné sinus, qui signifie « pli » ou « baie ». Le mot cosinus apparaît comme abréviation de sinus complementi, le sinus du complément, dans le Canon triangulorum d’Edmund Gunter (1620).

Au XVIIIe siècle, notamment avec l’Introductio in analysin infinitorum de Leonhard Euler (1748), sinus et cosinus sont étudiés comme des fonctions d’un nombre réel. Sur un cercle de rayon 1, ce ne sont plus des longueurs liées à un cercle particulier, mais de simples nombres : c’est le point de vue du cercle trigonométrique enseigné aujourd’hui.

Ce que montre l’affiche

Le programme trace le cercle de rayon 1 et place les seize angles remarquables, multiples de $\frac{\pi}{6}$ et de $\frac{\pi}{4}$ ; chaque étiquette est une fraction de $\pi$ réduite par le calcul. Pour $\theta = \frac{\pi}{3}$, il colore le triangle rectangle formé par le cosinus (sur l’axe horizontal), le sinus (à la verticale) et le rayon 1, et affiche leurs valeurs exactes, $\frac{1}{2}$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$, obtenues par le calcul puis contrôlées numériquement. Sous la formule, la deuxième ligne vérifie l’égalité pour cet angle : $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$. Comme tous les dessins de la boutique, il est calculé par des programmes écrits pour l’atelier, à partir de la formule elle-même, et existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• Sinus, cosinus et tangente : les mêmes nombres, définis par des rapports de longueurs dans un triangle rectangle, pour un angle aigu.
• Le théorème de Pythagore, qui démontre la formule.
• La formule d’Euler : le point du cercle trigonométrique associé à $\theta$ est le nombre complexe $e^{i\theta}$.
• Périmètre et aire du disque : le tour complet du cercle de rayon 1 mesure $2\pi$, d’où la mesure d’un tour en radians.