La racine de 2 est irrationnelle

Ce que dit la formule

• $\sqrt{2}$ est le nombre positif dont le carré vaut 2. D’après le théorème de Pythagore, c’est la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1 : $1^2 + 1^2 = 2$.
• $\mathbb{Q}$ désigne l’ensemble des nombres rationnels, c’est-à-dire des fractions $\frac{p}{q}$ où $p$ et $q$ sont des entiers et $q \neq 0$.
• Le symbole $\notin$ se lit « n’appartient pas à ».

L’énoncé complet : il n’existe aucun couple d’entiers $p$ et $q$, avec $q \neq 0$, tel que $p^2 = 2q^2$. Autrement dit, $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel.

Les conséquences. Son écriture décimale ne s’arrête jamais et ne devient jamais périodique : $\sqrt{2} = 1{,}414\,213\,562\,373\,095\ldots$ (les décimales affichées sur l’affiche sont tronquées, et calculées exactement). En langage géométrique, la diagonale et le côté d’un carré sont incommensurables : aucune unité de longueur, si petite soit-elle, ne mesure les deux un nombre entier de fois.

Un raisonnement voisin, fondé sur la décomposition en facteurs premiers, montre plus généralement que la racine carrée d’un entier positif est irrationnelle, sauf si cet entier est un carré parfait : $\sqrt{4} = 2$ est rationnel, mais $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ ou $\sqrt{6}$ ne le sont pas.

Un exemple

Faute de pouvoir écrire $\sqrt{2}$ comme une fraction, on peut l’approcher par des fractions de plus en plus précises. Les meilleures s’obtiennent en partant de $\frac{1}{1}$ et en passant de $\frac{p}{q}$ à $\frac{p + 2q}{p + q}$ :

La différence $p^2 - 2q^2$ vaut tour à tour $-1$ et $+1$ : jamais 0, sinon $\frac{p}{q}$ serait exactement $\sqrt{2}$. Les fractions sont donc alternativement un peu trop petites et un peu trop grandes. L’écart avec $\sqrt{2}$ fond très vite : environ $0{,}0142$ pour $\frac{7}{5}$, environ $0{,}000\,072$ pour $\frac{99}{70}$.

On rencontre $\sqrt{2}$ tous les jours : les formats de papier A4, A3, A5… (norme ISO 216) ont des côtés dans le rapport $\sqrt{2}$, ce qui permet de plier une feuille en deux sans changer ses proportions. Avec les dimensions arrondies au millimètre de la feuille A4, $297 \text{ mm}$ sur $210 \text{ mm}$, on trouve justement $\frac{297}{210} = \frac{99}{70}$.

Pourquoi c’est vrai

La démonstration classique, par l’absurde. Supposons que $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$, avec $p$ et $q$ entiers positifs. Quitte à simplifier, on peut supposer la fraction irréductible : $p$ et $q$ n’ont aucun diviseur commun autre que 1.

1. En élevant au carré, $p^2 = 2q^2$ : le nombre $p^2$ est pair.
2. Si $p$ était impair, $p^2$ serait impair (le carré d’un nombre impair est impair). Donc $p$ est pair : $p = 2m$ pour un entier $m$.
3. Alors $4m^2 = 2q^2$, soit $q^2 = 2m^2$ : $q^2$ est pair, donc $q$ aussi.
4. Ainsi $p$ et $q$ sont tous deux divisibles par 2, ce qui contredit l’hypothèse d’une fraction irréductible.

L’hypothèse de départ est donc fausse : $\sqrt{2}$ n’est pas une fraction.

Une autre preuve, par descente infinie. Supposons $p^2 = 2q^2$ avec $q$ le plus petit possible. Comme $1 < \frac{p}{q} < 2$, on a $q < p < 2q$. Posons $p' = 2q - p$ et $q' = p - q$. Un calcul direct donne $p'^2 - 2q'^2 = -(p^2 - 2q^2) = 0$, avec $0 < q' < q$ : on a trouvé une solution plus petite, ce qui est impossible. Cette preuve a une version purement géométrique, attribuée à Stanley Tennenbaum, avec deux carrés posés dans un plus grand.

L’atelier a de plus vérifié, en calcul exact sur les entiers, qu’aucun $q$ entre 1 et 1 000 000 ne donne $2q^2$ égal à un carré, ce qui ne remplace pas la démonstration, mais l’illustre.

Un peu d’histoire

Bien avant toute preuve, on savait calculer $\sqrt{2}$. La tablette babylonienne YBC 7289, datée d’environ 1800 à 1600 avant notre ère, porte la valeur $1\,;24,51,10$ en base 60, soit environ $1{,}414\,212\,96$ : l’écart avec $\sqrt{2}$ est d’environ $6 \times 10^{-7}$. En Inde ancienne, les Śulba-sūtras donnent une règle équivalant à $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \times 4} - \frac{1}{3 \times 4 \times 34} = \frac{577}{408}$, environ $1{,}414\,215\,6$.

La découverte qu’aucune fraction ne convient est attribuée aux pythagoriciens, probablement au Ve siècle avant notre ère, mais on sait très peu de chose de sa date et de ses circonstances. Le nom d’Hippase de Métaponte est souvent cité ; la légende selon laquelle il aurait été puni pour avoir divulgué ce secret n’est appuyée par aucune source solide.

Dans le Théétète de Platon, le mathématicien Théodore de Cyrène montre que les côtés des carrés d’aire 3, 5, et ainsi de suite jusqu’à 17, sont incommensurables avec l’unité. Aristote, dans les Premiers Analytiques, évoque la preuve par le pair et l’impair : si la diagonale était commensurable au côté, un nombre impair serait égal à un nombre pair. Une démonstration complète figure dans certaines éditions des Éléments d’Euclide (livre X), mais les historiens la considèrent comme un ajout postérieur.

Ce que montre l’affiche

Le dessin place les points à coordonnées entières $(p, q)$ et la droite $p = \sqrt{2}\,q$, qui ne passe par aucun d’eux en dehors de l’origine. La taille de chaque point dépend de l’entier $|p^2 - 2q^2|$, calculé exactement : plus il est petit, plus le point est gros ; sa couleur indique son signe, c’est-à-dire le côté de la droite. Cet entier ne vaut jamais 0 ; il vaut 1 pour les quatre points cerclés, les fractions $\frac{1}{1}$, $\frac{3}{2}$, $\frac{7}{5}$ et $\frac{17}{12}$, qui serrent la droite de part et d’autre. Le dessin est calculé par des programmes écrits pour l’atelier ; l’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• Le théorème de Pythagore, qui fait de $\sqrt{2}$ la diagonale du carré unité.
• Le nombre d’or, autre irrationnel célèbre, racine de $x^2 = x + 1$.
• Le nombre e, irrationnel lui aussi, et même transcendant.
• Les nombres premiers : la décomposition en facteurs premiers donne une autre preuve de l’irrationalité.

Sources : Racine carrée de deux (Wikipédia) (nouvel onglet), Square root of 2 (Wikipedia) (nouvel onglet), Pythagoras’s Constant (Wolfram MathWorld) (nouvel onglet), décimales de √2 (OEIS A002193) (nouvel onglet), YBC 7289 (Wikipedia) (nouvel onglet), Hippasus (Wikipedia) (nouvel onglet), Theodorus of Cyrene (Wikipedia) (nouvel onglet), Paper size (Wikipedia) (nouvel onglet).