La poussée d’Archimède

Ce que dit la formule

Un corps immergé, en totalité ou en partie, dans un fluide au repos (liquide ou gaz), dans un champ de pesanteur uniforme, subit de la part de ce fluide une force verticale, dirigée vers le haut, dont l’intensité est égale au poids du fluide déplacé :

• $\Pi$ : l’intensité de la poussée d’Archimède, en newtons (N).
• $\rho_{\text{fluide}}$ : la masse volumique du fluide, en kg/m³ (environ 1 000 kg/m³ pour l’eau douce).
• $V_{\text{immerg\'e}}$ : le volume de la partie immergée du corps, en m³. C’est aussi le volume de fluide déplacé.
• $g$ : l’intensité de la pesanteur, environ 9,81 m/s² à la surface de la Terre.

La poussée s’applique au centre de poussée, le centre de gravité du fluide déplacé. Sous forme vectorielle, $\vec{\Pi} = -\rho_{\text{fluide}}\, V_{\text{immerg\'e}}\, \vec{g}$.

Deux précisions comptent. D’abord, seul le volume immergé intervient : pour un objet qui flotte, c’est la partie sous la surface. Ensuite, le fluide doit entourer le corps : un objet parfaitement plaqué contre le fond, sans fluide en dessous, ne reçoit pas cette poussée.

Flotter ou couler. Un corps de masse volumique $\rho_{\text{objet}}$ entièrement immergé subit la poussée $\rho_{\text{fluide}} V g$ et son poids $\rho_{\text{objet}} V g$. S’il est moins dense que le fluide, il remonte et flotte en s’enfonçant jusqu’à ce que la poussée égale son poids. La fraction immergée vaut alors

Un exemple

L’iceberg. La glace a une masse volumique d’environ 917 kg/m³ et l’eau de mer d’environ 1 025 kg/m³. La fraction immergée vaut $917/1\,025 \approx 0{,}894$ : environ 89 % du volume d’un iceberg est sous l’eau et environ 10,5 % seulement dépasse. Dans l’eau douce, la fraction immergée serait de $917/1\,000$, soit 91,7 %.

Un bloc d’acier de 1 litre. Plongé entièrement dans l’eau douce ($V = 10^{-3}$ m³, $g = 9{,}81$ m/s²), il subit une poussée

quel que soit le matériau. Avec une masse volumique de 7 850 kg/m³, son poids vaut environ 77,0 N : il coule, mais il « pèse » dans l’eau environ 67,1 N, soit 9,81 N de moins que dans l’air.

Un cube de bois. Un cube de 10 cm de côté, de masse volumique 600 kg/m³, flotte dans l’eau en s’enfonçant de $0{,}1 \times 600/1\,000 = 0{,}06$ m, soit 6 cm. La poussée vaut alors $1\,000 \times (0{,}1 \times 0{,}1 \times 0{,}06) \times 9{,}81$, environ 5,88 N, exactement son poids.

Pourquoi c’est vrai

L’argument du fluide de remplacement. Imaginons qu’on retire le corps et qu’on remplisse le trou par du fluide identique au fluide environnant. Ce « morceau de fluide » reste immobile : le fluide est au repos. Les forces de pression qu’exerce sur lui le fluide autour équilibrent donc exactement son poids, $\rho_{\text{fluide}} V g$, et sont dirigées vers le haut. Or ces forces de pression ne dépendent que de la forme de la surface et de la profondeur, pas de ce qu’il y a dedans. Remettons le corps : il reçoit exactement les mêmes forces de pression.

Le calcul pour un cube. Dans un fluide au repos, la pression croît avec la profondeur $z$ : $p = p_0 + \rho_{\text{fluide}}\, g\, z$. Prenons un cube d’arête $a$ entièrement immergé, faces horizontales. Sur les faces verticales, les forces de pression se compensent deux à deux. La face du bas, à la profondeur $z + a$, est poussée vers le haut par $p(z + a)\, a^2$ ; la face du haut, vers le bas, par $p(z)\, a^2$. La résultante vaut

le poids du fluide déplacé. Pour une forme quelconque, le même calcul, fait avec une intégrale sur toute la surface, donne le même résultat ; les programmes de l’atelier l’ont vérifié numériquement sur une sphère et sur un cube incliné.

Un peu d’histoire

Le principe est attribué à Archimède de Syracuse, savant grec du IIIe siècle avant notre ère. Il l’énonce dans son traité Des corps flottants, le premier ouvrage connu sur l’équilibre des fluides. Le livre I contient l’énoncé qui porte aujourd’hui son nom : un solide plus léger qu’un fluide s’y enfonce jusqu’à ce que le poids du fluide déplacé égale son propre poids. Le texte grec ne nous est parvenu que par un seul manuscrit, le palimpseste d’Archimède, et le traité est aussi connu par une traduction latine médiévale.

L’anecdote célèbre du bain et du cri « Eurêka ! » est rapportée par l’architecte romain Vitruve, environ deux siècles plus tard. Elle concerne une couronne dont on soupçonnait qu’elle n’était pas en or pur : selon ce récit, Archimède aurait comparé les volumes d’eau déplacés par la couronne et par de l’or pur. Ce n’est donc pas, à proprement parler, la poussée qui intervient dans l’histoire, et rien ne garantit qu’elle soit authentique.

Ce que montre l’affiche

Le dessin montre cinq cubes identiques, de densités 0,1 ; 0,3 ; 0,5 ; 0,7 et 0,9 par rapport à l’eau, posés sur une eau dont la teinte se renforce avec la profondeur, comme la pression. Pour chaque cube, le programme cherche, à partir de la formule, la profondeur à laquelle la poussée égale le poids : le cube s’enfonce de 10 %, 30 %, 50 %, 70 % ou 90 % de sa hauteur. Deux flèches de même longueur, proportionnelles à la densité, représentent le poids (vers le bas, depuis le centre du cube) et la poussée (vers le haut, depuis le centre de la partie immergée). Le dessin est calculé par des programmes écrits pour l’atelier ; l’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La deuxième loi de Newton, qui dit pourquoi un corps plus dense que l’eau coule.
• La gravitation universelle, à l’origine du poids et donc de la poussée.

Sources : Poussée d’Archimède (Wikipédia) (nouvel onglet), Archimedes’ principle (Wikipedia) (nouvel onglet), Archimedes’ principle (Encyclopædia Britannica) (nouvel onglet), On Floating Bodies (Wikipedia) (nouvel onglet).