La formule de Taylor

Ce que dit la formule

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle contenant le réel $a$, et $n$ un entier naturel. Si $f$ est dérivable $n$ fois en $a$, alors, quand $x$ tend vers $a$ :

C’est la formule de Taylor-Young. Le polynôme $T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ est le polynôme de Taylor de $f$ en $a$ à l’ordre $n$ ; l’égalité s’appelle aussi un développement limité de $f$ en $a$ à l’ordre $n$.

• $f^{(k)}(a)$ : la dérivée $k$-ième de $f$ en $a$, avec la convention $f^{(0)} = f$. Ainsi $f^{(1)} = f'$ et $f^{(2)} = f''$.
• $k!$ : la factorielle de $k$, produit $1 \times 2 \times \cdots \times k$, avec $0! = 1$.
• $(x - a)^k$ : l’écart entre $x$ et $a$, élevé à la puissance $k$ ; par convention $(x-a)^0 = 1$.
• $o\big((x-a)^n\big)$ : un reste négligeable devant $(x - a)^n$, c’est-à-dire une quantité qui, divisée par $(x-a)^n$, tend vers 0 quand $x$ tend vers $a$.

Pour $n = 1$, on retrouve l’approximation par la tangente : $f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + o(x - a)$, ce qui est exactement la définition de la dérivée.

Une forme avec un reste exact. Si $f$ est dérivable $n + 1$ fois sur un intervalle contenant $a$ et $x$, la formule de Taylor-Lagrange affirme qu’il existe un réel $c$ strictement compris entre $a$ et $x$ (pour $x \neq a$) tel que

On ne connaît pas $c$, mais si l’on sait majorer $|f^{(n+1)}|$ par un nombre $M$, l’erreur est au plus $\frac{M\,|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}$.

Une formule locale. Taylor-Young ne dit rien loin de $a$. Et même avec toutes ses dérivées, le polynôme ne suffit pas toujours : la fonction qui vaut $e^{-1/x^2}$ pour $x \neq 0$ et 0 en 0 a toutes ses dérivées nulles en 0, donc tous ses polynômes de Taylor en 0 sont nuls, alors qu’elle ne s’annule qu’en 0.

Un exemple

Prenons $f = \sin$ et $a = 0$. Les dérivées successives de $\sin$ sont $\cos$, $-\sin$, $-\cos$, $\sin$, puis le cycle recommence ; en 0 elles valent $0, 1, 0, -1, 0, 1, \ldots$ D’où

où seules les puissances impaires apparaissent. Calculons $\sin 0{,}5$, qui vaut environ 0,479 425 538 6 :

1. Ordre 1 : $T_1(0{,}5) = 0{,}5$. Erreur environ 0,020 57.
2. Ordre 3 : $T_3(0{,}5) = 0{,}5 - \frac{0{,}125}{6}$, environ 0,479 166 666. Erreur environ 0,000 258 8.
3. Ordre 5 : on ajoute $\frac{0{,}5^5}{120} = \frac{0{,}031\,25}{120}$, environ 0,000 260 416, et l’on obtient environ 0,479 427 083. Erreur environ 0,000 001 544.

La formule de Taylor-Lagrange garantit ce dernier résultat sans connaître $\sin 0{,}5$ : comme le terme de degré 6 est nul, $T_5 = T_6$, et l’erreur est au plus $\frac{0{,}5^7}{7!} = \frac{0{,}007\,812\,5}{5\,040}$, environ 0,000 001 550, puisque toutes les dérivées de $\sin$ sont comprises entre $-1$ et 1. L’erreur réelle, environ 0,000 001 544, est bien en dessous.

Pourquoi c’est vrai

Taylor-Lagrange par le théorème de Rolle. Fixons $x \neq a$ et considérons, pour $t$ entre $a$ et $x$,

où la constante $K$ est choisie pour que $\varphi(a) = 0$. On a aussi $\varphi(x) = f(x) - f(x) = 0$. En dérivant, les termes de la somme se simplifient deux à deux et il reste

D’après le théorème de Rolle, $\varphi'$ s’annule en un point $c$ strictement compris entre $a$ et $x$ ; comme $(x - c)^n \neq 0$, cela donne $K = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}$. L’égalité $\varphi(a) = 0$ est alors exactement la formule de Taylor-Lagrange.

Taylor-Young. Si $f$ est $n$ fois dérivable sur un intervalle contenant $a$, avec $f^{(n)}$ continue en $a$, on applique Taylor-Lagrange à l’ordre $n - 1$ : le reste vaut $\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n$, et $f^{(n)}(c)$ tend vers $f^{(n)}(a)$ quand $x$ tend vers $a$ ; la différence est bien négligeable devant $(x-a)^n$. Sous la seule hypothèse « $n$ fois dérivable en $a$ », la démonstration, par récurrence sur $n$, demande plus de soin et dépasse le cadre de cette page.

Les programmes de l’atelier vérifient la formule par le calcul : pour cinq fonctions ($\sin$ en deux points, $\exp$, $\ln$, $\frac{1}{1-x}$, $\sqrt{x}$) et des ordres 1 à 6, le reste divisé par $(x - a)^n$ tend vers 0 ; pour $\sin$, la majoration de Lagrange est contrôlée sur 10 000 couples $(x, n)$ tirés au hasard ; la fonction $|x|$, non dérivable en 0, sert de contre-exemple.

Un peu d’histoire

Des développements de ce type sont connus bien avant le nom de Taylor. Les séries du sinus et du cosinus figurent dans des textes de l’école du Kerala, en Inde, qui les attribuent à Madhava de Sangamagrama (XIVe ou XVe siècle) ; en Europe, Newton les retrouve vers 1669. James Gregory mentionne une version du résultat dès 1671, et, selon le site d’histoire des mathématiques MacTutor, Newton, Leibniz, Jean Bernoulli et de Moivre en connaissaient des variantes.

Brook Taylor publie la formule en 1715 dans Methodus incrementorum directa et inversa, sans se préoccuper du reste. Le cas $a = 0$ porte souvent le nom de Colin Maclaurin, qui l’a beaucoup utilisé au XVIIIe siècle. C’est Lagrange qui, à la fin du XVIIIe siècle, insiste sur la nécessité de contrôler le reste ; la forme du reste citée plus haut porte son nom. La forme avec un $o$ porte le nom du mathématicien anglais William Henry Young.

Ce que montre l’affiche

Le dessin trace la courbe de $\sin x$ entre $-7{,}1$ et $7{,}1$ (environ deux périodes) et ses polynômes de Taylor en $a = 0$ de degrés 1, 3, 5, 7, 9, 11 et 13, calculés à partir des dérivées de $\sin$ en 0. Chaque polynôme épouse la sinusoïde autour de 0 puis s’en écarte et sort du cadre ; le programme calcule ce point de sortie et y écrit le degré, en haut pour 1, 5, 9 et 13, en bas pour 3, 7 et 11. Plus le degré est élevé, plus le polynôme reste collé à la courbe loin de 0. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La dérivée, qui est la formule de Taylor à l’ordre 1.
• Le théorème de Rolle, clé de la démonstration de Taylor-Lagrange.
• La fonction exponentielle, dont la série de Taylor $\sum \frac{x^n}{n!}$ converge pour tout $x$.
• Le logarithme népérien, autre fonction à développer.
• La série de Fourier, une autre façon d’approcher une fonction, par des sinus et des cosinus.

Sources : Théorème de Taylor (Wikipédia) (nouvel onglet), Taylor’s theorem (Wikipedia) (nouvel onglet), Taylor’s Theorem (MathWorld) (nouvel onglet), Taylor Series (MathWorld) (nouvel onglet), Brook Taylor (MacTutor) (nouvel onglet), Madhava series (Wikipedia) (nouvel onglet).