La vitesse de la lumière

Ce que dit la formule

Dans le vide, la lumière, comme toutes les ondes électromagnétiques (ondes radio, infrarouge, rayons X…), se propage à la vitesse

• $c$ : la vitesse de la lumière dans le vide, en mètres par seconde.
• $\mu_0$ : la perméabilité magnétique du vide, environ $1{,}256\,637\,061 \times 10^{-6}$ N/A² (valeur recommandée CODATA 2022).
• $\varepsilon_0$ : la permittivité électrique du vide, environ $8{,}854\,187\,818 \times 10^{-12}$ F/m (CODATA 2022).

La valeur de $c$ est exacte : $c = 299\,792\,458$ m/s. Ce n’est plus une mesure mais une définition. Depuis 1983, le mètre est la longueur parcourue par la lumière dans le vide en $1/299\,792\,458$ de seconde. Inversement, depuis la révision du Système international de 2019, $\mu_0$ et $\varepsilon_0$ ne sont plus fixés : ce sont des grandeurs mesurées, avec une petite incertitude, mais la relation $\mu_0\, \varepsilon_0\, c^2 = 1$ reste exacte.

Deux précisions. Dans un milieu transparent (eau, verre), la lumière va moins vite, à la vitesse $c/n$ où $n$ est l’indice de réfraction du milieu. Et, d’après la relativité restreinte, $c$ est la même pour tous les observateurs en mouvement uniforme, quelle que soit la vitesse de la source : c’est la vitesse limite de tout signal.

Un exemple

Du Soleil à la Terre. L’unité astronomique, distance de référence entre la Terre et le Soleil, vaut exactement 149 597 870 700 m. La lumière la parcourt en

soit environ 8 minutes et 19 secondes. Comme l’orbite de la Terre est une ellipse, ce temps varie au cours de l’année, d’environ 8 min 10 s début janvier (147 098 450 km) à environ 8 min 27 s début juillet (152 097 597 km).

De la Lune à la Terre. Pour la distance moyenne de 384 399 km, environ 1,28 seconde.

Une nanoseconde. En un milliardième de seconde, la lumière parcourt exactement 29,979 245 8 cm : à peine 30 cm. C’est une contrainte réelle pour les circuits électroniques rapides.

L’année-lumière. C’est la distance parcourue en une année julienne de 365,25 jours : $299\,792\,458 \times 365{,}25 \times 86\,400 = 9\,460\,730\,472\,580\,800$ m exactement, environ 9 460 milliards de kilomètres.

Vérification avec $\mu_0$ et $\varepsilon_0$. Avec les valeurs CODATA 2022, $1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}$ donne environ 299 792 457,9998 m/s : l’écart avec la valeur exacte est très inférieur à l’incertitude de ces deux mesures.

Pourquoi c’est vrai

La formule découle des équations de Maxwell. Dans le vide, sans charges ni courants, elles relient les variations du champ électrique $\mathbf{E}$ et du champ magnétique $\mathbf{B}$ :

Prenons un champ électrique orienté selon $x$ et un champ magnétique selon $y$, qui ne dépendent que de $z$ et de $t$. Les deux équations deviennent $\frac{\partial E}{\partial z} = -\frac{\partial B}{\partial t}$ et $-\frac{\partial B}{\partial z} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t}$. En dérivant la première par rapport à $z$, la seconde par rapport à $t$, et en éliminant $B$ :

C’est l’équation d’une onde qui se propage à la vitesse $1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}$ : une onde de forme quelconque $E = f(z - vt)$ qui se déplace sans se déformer la vérifie lorsque $v^2 = 1/(\mu_0 \varepsilon_0)$, puisque ses dérivées secondes valent $f''$ par rapport à $z$ et $v^2 f''$ par rapport à $t$.

Un peu d’histoire

En 1676, l’astronome danois Ole Rømer, à l’Observatoire de Paris, remarque que les éclipses d’Io, une lune de Jupiter, prennent du retard quand la Terre s’éloigne de Jupiter : il en conclut que la lumière met un temps fini à voyager. Christiaan Huygens en tire une première estimation, de l’ordre de 220 000 km/s. En 1729, James Bradley obtient un résultat plus précis grâce à l’aberration des étoiles.

Les premières mesures sur Terre sont françaises : Hippolyte Fizeau utilise en 1849 une roue dentée tournant devant un faisceau renvoyé par un miroir lointain et trouve environ 315 000 km/s ; Léon Foucault obtient en 1862, avec un miroir tournant, 298 000 km/s, à 500 km/s près.

Entre-temps, en 1856, Wilhelm Weber et Rudolf Kohlrausch mesurent le rapport entre les unités électromagnétique et électrostatique de charge, en déchargeant une bouteille de Leyde : ce rapport, qui correspond à $1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}$, est une vitesse, très proche de celle que Fizeau avait mesurée pour la lumière. En 1865, James Clerk Maxwell en tire la conclusion : la lumière est une onde électromagnétique, qui se propage à la vitesse prévue par ses équations.

Au XXe siècle, les lasers permettent des mesures de plus en plus précises ; en 1975, la Conférence générale des poids et mesures recommande la valeur 299 792 458 m/s. En 1983, elle franchit le pas : cette valeur devient exacte et sert à définir le mètre.

Ce que montre l’affiche

Le dessin représente des fronts de lumière partis d’un même point : chaque arc a pour rayon le logarithme de la distance parcourue par la lumière en $10^{-9}$ s, $10^{-6}$ s, $10^{-3}$ s, 1 s, un jour et un an, et un arc en couleur marque l’unité astronomique, la distance du Soleil. Au-dessus de l’axe figure la durée, au-dessous la distance, toutes deux calculées à partir de $c$ par le programme : 29,9 cm, 299 m, 299 km, 299 792 km, puis 2,59 × 10¹⁰ km pour un jour et 9,46 × 10¹² km pour un an ; pour le Soleil, la durée calculée est de 8 min 19 s. Le dessin est calculé par des programmes écrits pour l’atelier ; l’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• Les équations de Maxwell, d’où la formule est tirée.
• E = mc², où la vitesse de la lumière relie masse et énergie.
• Le rayon de Schwarzschild, la taille d’un trou noir, d’où la lumière ne peut sortir.
• Les équations d’Einstein, la relativité générale.

Sources : Vitesse de la lumière (Wikipédia) (nouvel onglet), Speed of light (Wikipedia) (nouvel onglet), vitesse de la lumière (NIST) (nouvel onglet), définition du mètre, 17e CGPM, 1983 (BIPM) (nouvel onglet), μ0 (NIST) (nouvel onglet), ε0 (NIST) (nouvel onglet), Astronomical unit (Wikipedia) (nouvel onglet), Light-year (Wikipedia) (nouvel onglet).