L’attracteur de Lorenz et l’effet papillon

Ce que dit la formule

Ce système de trois équations différentielles décrit comment un point de coordonnées $(x, y, z)$ se déplace au cours du temps $t$. Chaque équation donne la vitesse de variation d’une coordonnée en fonction de la position actuelle. Le système est déterministe : un point de départ donné détermine une trajectoire unique. C’est un modèle très simplifié de la convection dans une couche de fluide chauffée par le dessous, comme l’air au-dessus d’un sol chaud.

• $x$ : l’intensité du mouvement de convection (la vitesse de rotation des rouleaux de fluide).
• $y$ : l’écart de température entre les courants qui montent et ceux qui descendent.
• $z$ : l’écart entre le profil vertical de température et un profil régulier.
• $\sigma$ (sigma) : le nombre de Prandtl, propre au fluide.
• $\rho$ (rhô) : un paramètre lié au nombre de Rayleigh, qui mesure l’intensité du chauffage.
• $\beta$ (bêta) : un paramètre lié aux proportions de la cellule de convection.

Toutes ces grandeurs sont sans unité. Lorenz a étudié les valeurs $\sigma = 10$, $\rho = 28$ et $\beta = 8/3$. Pour ces valeurs, toutes les trajectoires finissent par s’enrouler autour d’un même objet en forme de double boucle, sans jamais repasser deux fois par le même point : c’est l’attracteur de Lorenz, l’exemple le plus célèbre d’attracteur étrange.

Un exemple

Les états d’équilibre. Cherchons les points où rien ne bouge : les trois dérivées sont nulles. La première équation impose $y = x$, la troisième $x^2 = \beta z$. La deuxième devient $x(\rho - 1 - z) = 0$. Il y a donc l’origine $(0, 0, 0)$, absence de convection, et deux autres points où $z = \rho - 1 = 27$ et $x = y = \pm\sqrt{\beta(\rho - 1)} = \pm\sqrt{72} = \pm 6\sqrt{2}$, soit environ $\pm 8{,}485$. Ce sont les centres des deux boucles de l’attracteur. Avec $\sigma = 10$ et $\beta = 8/3$, ces deux équilibres deviennent instables dès que $\rho$ dépasse $470/19 \approx 24{,}73$ : à $\rho = 28$, la trajectoire tourne autour sans jamais s’y fixer.

La sensibilité aux conditions initiales. Lançons le calcul depuis $(1, 1, 1)$, puis depuis $(1 + 10^{-9}, 1, 1)$ : un écart d’un milliardième. Dans le calcul de l’atelier (méthode de Runge-Kutta, pas de temps 0,001), l’écart entre les deux trajectoires vaut environ $1{,}75 \times 10^{-9}$ à $t = 10$, $9{,}2 \times 10^{-7}$ à $t = 20$, $0{,}015$ à $t = 30$, puis dépasse 1 vers $t \approx 33{,}4$ : les deux points ne sont plus du tout au même endroit de l’attracteur. L’erreur grandit en moyenne de façon exponentielle. Une prévision à long terme exigerait de connaître le départ avec une précision infinie.

Pourquoi c’est vrai

Certaines propriétés se démontrent en quelques lignes. La « divergence » du système, somme des dérivées de chaque équation par rapport à sa propre variable, vaut

Elle est constante et négative : tout petit volume de points de départ se contracte, multiplié par $e^{-41t/3}$ au bout du temps $t$, soit environ $1{,}16 \times 10^{-6}$ après une seule unité de temps. L’attracteur a donc un volume nul. On montre aussi que toutes les trajectoires finissent par entrer dans une région bornée et n’en sortent plus.

Le caractère chaotique, en revanche, a longtemps été constaté sur ordinateur sans être démontré. La démonstration complète dépasse le cadre de cette page : en 2002, Warwick Tucker a prouvé que l’attracteur existe bien et possède les propriétés d’un attracteur étrange, par une preuve assistée par ordinateur avec contrôle rigoureux des erreurs de calcul. Cela répondait au 14e problème de la liste de Stephen Smale (Wikipédia, Lorenz system (nouvel onglet)).

Un peu d’histoire

Edward Lorenz, météorologue au MIT, publie ces équations en 1963 dans l’article Deterministic Nonperiodic Flow (Journal of the Atmospheric Sciences, vol. 20), en simplifiant un modèle de convection étudié par Barry Saltzman. Selon son propre récit, il avait remarqué au début des années 1960, sur un modèle météorologique plus vaste, qu’en relançant un calcul avec une valeur arrondie (0,506 au lieu de 0,506127), il obtenait au bout d’environ deux mois de temps simulé une évolution sans rapport avec la première (Wikipédia, Butterfly effect (nouvel onglet)).

L’expression « effet papillon » vient d’une conférence que Lorenz donne le 29 décembre 1972 à Washington, lors de la 139e réunion de l’American Association for the Advancement of Science. Son titre : Predictability: Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil Set off a Tornado in Texas? D’après Lorenz, ce titre a été choisi par l’organisateur de la séance, le météorologue Philip Merilees. Lorenz ne répondait pas à la question posée ; il faisait remarquer que, si un battement d’ailes pouvait déclencher une tornade, un autre pouvait aussi bien l’empêcher (Science News (nouvel onglet)). Son article de 1963 est d’ailleurs resté longtemps peu cité hors de la météorologie.

Ce que montre l’affiche

Le dessin trace deux trajectoires, calculées pas à pas à partir des trois équations sur 100 unités de temps : l’une part du point $(1, 1, 1)$, l’autre d’un point décalé de $10^{-9}$ seulement ; le tout début, qui n’est pas encore sur l’attracteur, est retiré. On les voit de face, dans le plan des coordonnées $x$ et $z$, chacune dans sa couleur. Pendant des dizaines d’unités de temps, elles sont confondues ; puis l’écart minuscule du départ grandit, et elles finissent par parcourir les deux ailes de façon différente : c’est l’effet papillon, vérifié par le calcul de l’atelier. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• L’ensemble de Mandelbrot, autre objet fractal né d’une règle très simple.
• L’équation de la chaleur, pour la diffusion de la température dans un fluide ou un solide.
• La deuxième loi de Newton, le modèle des équations différentielles de la physique.