Le théorème de Pythagore

Ce que dit le théorème

Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés :

• $c$ est la longueur de l’hypoténuse, le côté situé en face de l’angle droit. C’est toujours le plus long des trois côtés.
• $a$ et $b$ sont les longueurs des deux autres côtés, ceux qui forment l’angle droit.
• $a^2$ se lit « $a$ au carré » et vaut $a \times a$. C’est aussi l’aire d’un carré de côté $a$ : le théorème dit donc que l’aire du carré construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés.

L’hypothèse « triangle rectangle » est indispensable. Pour un triangle de côtés 4, 5 et 6, on trouve $4^2 + 5^2 = 41$, alors que $6^2 = 36$ : l’égalité est fausse, car ce triangle n’a pas d’angle droit.

La réciproque est vraie aussi : si les longueurs $a$, $b$ et $c$ des côtés d’un triangle vérifient $a^2 + b^2 = c^2$, alors ce triangle est rectangle, et l’angle droit est celui qui fait face au côté de longueur $c$. Par exemple, un triangle de côtés 5, 12 et 13 est rectangle, puisque $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$. À l’inverse, si $c$ est le plus long côté et que $a^2 + b^2 \neq c^2$, le triangle n’est pas rectangle.

Un exemple

Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur vertical, sur un sol horizontal. Son pied est à 1,40 m du mur. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ?

Le mur, le sol et l’échelle forment un triangle rectangle : l’angle droit est au pied du mur, et l’échelle est l’hypoténuse. En notant $h$ la hauteur cherchée, en mètres :

1. le théorème donne $1{,}4^2 + h^2 = 5^2$ ;
2. on calcule $1{,}4^2 = 1{,}96$ et $5^2 = 25$, donc $h^2 = 25 - 1{,}96 = 23{,}04$ ;
3. la hauteur est positive, donc $h = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8$.

L’échelle touche le mur à 4,80 m du sol. On peut vérifier : $4{,}8^2 = 23{,}04$, et $23{,}04 + 1{,}96 = 25$.

La réciproque sert tous les jours sur les chantiers, pour vérifier qu’un angle est droit sans équerre. On mesure 60 cm le long d’un mur et 80 cm le long de l’autre, à partir du coin. Si la distance entre les deux repères vaut exactement 100 cm, l’angle est droit, car $60^2 + 80^2 = 3\,600 + 6\,400 = 10\,000 = 100^2$. Si elle est plus grande, l’angle est plus ouvert qu’un angle droit ; plus petite, il est plus fermé.

Pourquoi c’est vrai

Il existe des centaines de démonstrations. La plus visuelle procède par réarrangement.

On dessine un grand carré de côté $a + b$. Dans chacun de ses quatre coins, on place une copie du triangle rectangle, de façon que ses deux petits côtés longent les bords du grand carré. Il reste au centre un quadrilatère dont les quatre côtés mesurent $c$. C’est bien un carré : en chaque point où deux triangles se touchent sur un bord du grand carré, les trois angles qui s’y rencontrent font 180°, et les deux angles aigus du triangle font ensemble 90°. Il reste donc 90° pour l’angle du quadrilatère.

On écrit alors l’aire du grand carré de deux façons :

En développant, $a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$, puis en retirant $2ab$ des deux côtés : $a^2 + b^2 = c^2$.

On peut même se passer du calcul : en déplaçant les quatre triangles à l’intérieur du même grand carré, on peut aussi laisser libres deux carrés, de côtés $a$ et $b$. La surface non couverte est la même dans les deux dispositions, donc $c^2 = a^2 + b^2$.

La réciproque se démontre en une phrase : si $a^2 + b^2 = c^2$, on construit un triangle rectangle de côtés $a$ et $b$ autour de l’angle droit. Son hypoténuse mesure $\sqrt{a^2 + b^2} = c$. Les deux triangles ont alors les mêmes trois longueurs de côtés, ils sont donc superposables, et le triangle de départ a lui aussi un angle droit.

Un peu d’histoire

Le théorème porte le nom de Pythagore, penseur grec du VIe siècle av. J.-C., mais il était connu bien avant lui, et aucun texte de son époque ne lui attribue de démonstration. Les témoignages sur ses travaux mathématiques sont tardifs, et Proclus, au Ve siècle de notre ère, rapportait déjà cette attribution avec prudence.

La tablette d’argile babylonienne Plimpton 322, écrite vers 1800 av. J.-C. et conservée à l’université Columbia (New York), contient un tableau de quinze lignes. Deux de ses colonnes se lisent le plus souvent comme le petit côté et la diagonale de triangles rectangles à côtés entiers : la première ligne donne 119 et 169, qui vont avec un troisième côté de 120, car $119^2 + 120^2 = 169^2$. La fonction exacte de la tablette reste discutée : beaucoup d’historiens y voient une liste préparée par un enseignant pour fabriquer des exercices, et l’on évite d’y lire un théorème démontré.

En Inde, les Śulba-sūtras, traités de géométrie liés à la construction des autels, énoncent la propriété pour la diagonale d’un rectangle ; leur datation est incertaine (Ier millénaire av. J.-C.). En Chine, le Zhoubi suanjing l’expose sous le nom de règle gou-gu.

La plus ancienne démonstration complète qui nous soit parvenue est celle d’Euclide, vers 300 av. J.-C. : c’est la proposition 47 du livre I des Éléments (nouvel onglet), et la réciproque est la proposition 48.

Ce que montre l’affiche

Le dessin reprend le triangle rectangle le plus célèbre, de côtés 3, 4 et 5. Sur chaque côté, le programme construit un carré tourné vers l’extérieur et le quadrille en carreaux de même taille : 9 carreaux sur le petit côté, 16 sur le moyen, 25 sur l’hypoténuse. Il suffit de compter pour voir que $9 + 16 = 25$. Comme tous les dessins de la boutique, il est calculé par des programmes écrits pour l’atelier, à partir de la formule elle-même, et existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• Le théorème de Thalès, l’autre grand théorème de géométrie du collège.
• La formule d’Euler : le point $e^{i\theta}$ reste sur le cercle de rayon 1 parce que $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$, ce qui est le théorème de Pythagore dans ce cercle.
• Le grand théorème de Fermat : on trouve une infinité de solutions entières à $a^2 + b^2 = c^2$, mais aucune à $a^n + b^n = c^n$ en entiers strictement positifs dès que $n \geq 3$.