Le théorème d’Al-Kashi

Ce que dit le théorème

On considère un triangle quelconque $ABC$ et l’on note, comme d’habitude, chaque côté par la lettre minuscule du sommet opposé : $a = BC$, $b = CA$ et $c = AB$. On note $\gamma$ l’angle au sommet $C$, c’est-à-dire l’angle formé par les côtés $[CA]$ et $[CB]$, celui qui fait face au côté $c$. Alors :

• $a$ et $b$ sont les longueurs des deux côtés qui encadrent l’angle $\gamma$.
• $c$ est la longueur du troisième côté, celui qui fait face à $\gamma$.
• $\gamma$ est la mesure de l’angle en $C$, comprise strictement entre 0° et 180° dans un vrai triangle.
• $\cos\gamma$ est le cosinus de cet angle : positif si l’angle est aigu, nul s’il est droit, négatif s’il est obtus.

Les longueurs doivent être exprimées dans la même unité ; $c^2$, $a^2$, $b^2$ et $2ab\cos\gamma$ sont alors des aires dans cette unité au carré. Le même théorème s’écrit pour les deux autres angles, en permutant les lettres : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$ et $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\beta$, où $\alpha$ et $\beta$ sont les angles en $A$ et en $B$.

Trois conséquences utiles :

• Si $\gamma = 90°$, alors $\cos\gamma = 0$ et l’on retrouve le théorème de Pythagore : $c^2 = a^2 + b^2$.
• Le signe de $a^2 + b^2 - c^2$ indique la nature de l’angle : il est positif si $\gamma$ est aigu, nul si $\gamma$ est droit, négatif si $\gamma$ est obtus. Cela contient la réciproque du théorème de Pythagore.
• Connaissant les trois côtés, on obtient chaque angle : $\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$, puis $\gamma$ avec la touche « arccos » (ou « cos⁻¹ ») d’une calculatrice réglée en degrés.

Deux exemples

Calculer un côté. Un triangle a deux côtés de 5 cm et 8 cm qui forment un angle de 60°. Comme $\cos 60° = \frac{1}{2}$ :

donc le troisième côté mesure exactement $c = 7$ cm. C’est le triangle de l’affiche. Sans le terme correctif, on trouverait $\sqrt{89}$, environ 9,43 cm : beaucoup trop, car l’angle de 60° est plus fermé qu’un angle droit.

Calculer un angle. Un triangle a des côtés de 4 cm, 5 cm et 6 cm. Le plus grand angle fait face au plus grand côté. Avec $a = 4$, $b = 5$ et $c = 6$ :

Le cosinus est positif, donc l’angle est aigu : $\gamma$ vaut environ 82,8°. Le même calcul donne pour les deux autres angles environ 41,4° (face au côté de 4 cm) et 55,7° (face au côté de 5 cm) ; la somme des trois valeurs non arrondies fait bien 180°.

Pourquoi c’est vrai

Avec des coordonnées. Plaçons le sommet $C$ à l’origine d’un repère orthonormé et le sommet $B$ sur l’axe des abscisses : $C(0\,;\,0)$ et $B(a\,;\,0)$. Le point $A$ est à la distance $b$ de $C$, dans la direction qui fait l’angle $\gamma$ avec l’axe ; par définition du cosinus et du sinus sur le cercle trigonométrique, ses coordonnées sont $A(b\cos\gamma\,;\,b\sin\gamma)$. La distance $AB$ se calcule alors avec le théorème de Pythagore :

Comme $\cos^2\gamma + \sin^2\gamma = 1$, il reste $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$. Ce calcul ne suppose rien sur l’angle : il vaut pour un angle aigu comme pour un angle obtus.

Avec des vecteurs. On a $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}$, d’après la relation de Chasles. En développant le carré scalaire, $c^2 = a^2 + b^2 - 2\,\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}$, et le produit scalaire $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}$ vaut précisément $ab\cos\gamma$.

Avec des aires, comme sur l’affiche, lorsque les trois angles sont aigus. Chaque hauteur du triangle, prolongée, coupe le carré construit sur un côté en deux rectangles. On montre que les deux rectangles qui touchent un même sommet ont la même aire : pour le sommet $C$, cette aire est $ab\cos\gamma$. Le carré de $c$ est formé des rectangles des sommets $A$ et $B$ ; les carrés de $a$ et de $b$ contiennent ces mêmes rectangles, plus deux rectangles de sommet $C$. D’où $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$. Avec un angle droit en $C$, les rectangles du sommet $C$ disparaissent : c’est la démonstration d’Euclide du théorème de Pythagore.

Un peu d’histoire

Le résultat est connu bien avant la trigonométrie. Dans les Éléments d’Euclide (vers 300 av. J.-C.), les propositions 12 (nouvel onglet) et 13 (nouvel onglet) du livre II traitent séparément le triangle obtus et le triangle aigu. Sans cosinus ni algèbre, elles comparent des aires : le carré du côté opposé à un angle obtus dépasse la somme des carrés des deux autres côtés d’un double rectangle, construit sur un côté et sur la projection de l’autre.

Le mathématicien et astronome persan Ghiyath al-Din Jamshid al-Kashi (vers 1380-1429), qui travailla à Samarcande, énonce le théorème sous une forme trigonométrique, adaptée au calcul des triangles, dans La Clé de l’arithmétique (Miftah al-hisab), achevée vers 1427 selon les sources les plus citées. Au XVIe siècle, François Viète en donne une écriture algébrique et le fait connaître en Europe ; Wikipédia indique qu’il l’a vraisemblablement redécouvert de façon indépendante.

Le nom de « théorème d’Al-Kashi » est une particularité française : il s’est imposé dans les manuels scolaires dans les années 1990. On parlait auparavant de « théorème de Pythagore généralisé », et la plupart des autres langues disent « loi des cosinus ».

Ce que montre l’affiche

Le programme construit un triangle à partir de deux côtés seulement, 5 et 8, et de l’angle de 60° qu’ils forment ; il mesure ensuite le troisième côté et trouve 7. Sur chaque côté est posé un carré, que la hauteur issue du sommet opposé, prolongée en pointillés, coupe en deux rectangles. Le programme calcule leurs aires à partir des coordonnées : 20 et 5 dans le carré de $a$ (25), 20 et 44 dans celui de $b$ (64), 44 et 5 dans celui de $c$ (49) ; les deux rectangles de couleur vive, de sommet $C$, valent chacun $ab\cos\gamma = 20$, d’où la ligne $5^2 + 8^2 - 2 \times 5 \times 8 \cos 60^\circ = 49 = 7^2$ écrite sous la formule. Comme tous les dessins de la boutique, il est calculé par des programmes écrits pour l’atelier, à partir de la formule elle-même, et existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• Le théorème de Pythagore, le cas de l’angle droit.
• Sinus, cosinus et tangente et le cercle trigonométrique, pour le cosinus d’un angle quelconque.
• Le produit scalaire, qui donne la démonstration la plus courte.
• L’aire d’un triangle : avec les mêmes données $a$, $b$ et $\gamma$, l’aire vaut $\frac{1}{2}ab\sin\gamma$.
• L’inégalité triangulaire, qui se déduit du théorème d’Al-Kashi.