La loi binomiale

Ce que dit la formule

On répète $n$ fois une épreuve de Bernoulli, c’est-à-dire une expérience à deux issues, appelées succès et échec. Les répétitions sont indépendantes et la probabilité de succès vaut $p$ à chaque fois. Le nombre $X$ de succès obtenus suit alors la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $\mathcal{B}(n, p)$ : pour tout entier $k$ compris entre 0 et $n$,

• $n$ : le nombre de répétitions, un entier au moins égal à 1.
• $p$ : la probabilité de succès à chaque épreuve, comprise entre 0 et 1 ; $1 - p$ est la probabilité d’échec.
• $k$ : le nombre de succès dont on cherche la probabilité, de 0 à $n$.
• $\binom{n}{k}$ : le coefficient binomial, qui se lit « $k$ parmi $n$ ». Il vaut $\frac{n!}{k!\,(n-k)!}$ et compte les façons de choisir les $k$ épreuves réussies parmi les $n$.
• Par convention $p^0 = 1$, même quand $p = 0$.

Espérance et variance. Une variable de loi $\mathcal{B}(n, p)$ a pour espérance $E(X) = np$ et pour variance $V(X) = np(1-p)$, donc pour écart type $\sqrt{np(1-p)}$.

Les conditions comptent. Si les épreuves ne sont pas indépendantes, ou si la probabilité de succès change d’une épreuve à l’autre, la loi n’est plus binomiale. Exemple : on tire 20 boules sans remise dans une urne de 50 boules dont 10 sont gagnantes. Chaque tirage modifie le contenu de l’urne ; la probabilité d’obtenir exactement 4 boules gagnantes vaut environ 0,280 0 (loi hypergéométrique), alors que la loi binomiale $\mathcal{B}(20\,;\, 0{,}2)$ donnerait environ 0,218 1. Avec remise, la loi binomiale serait exacte.

Un exemple

On lance 10 fois un dé équilibré et l’on compte le nombre $X$ de 6 obtenus. Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli de succès « obtenir 6 », de probabilité $p = \frac{1}{6}$, et les lancers sont indépendants : $X$ suit la loi $\mathcal{B}\big(10, \frac{1}{6}\big)$.

Probabilité d’obtenir exactement deux 6.

1. Le coefficient binomial : $\binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2} = 45$.
2. La probabilité d’une suite précise avec deux 6 et huit autres résultats : $\left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^8 = \frac{5^8}{6^{10}} = \frac{390\,625}{60\,466\,176}$.
3. On multiplie : $P(X = 2) = \frac{45 \times 390\,625}{60\,466\,176} = \frac{17\,578\,125}{60\,466\,176}$, soit environ 0,290 71.

Probabilité d’obtenir au moins un 6. On passe par l’événement contraire : $P(X = 0) = \left(\frac{5}{6}\right)^{10}$, environ 0,161 5, donc $P(X \geq 1) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^{10}$, environ 0,838 4.

Espérance et écart type. En moyenne, on obtient $np = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ six, environ 1,666. La variance vaut $10 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{18}$, environ 1,388, et l’écart type environ 1,178.

Pourquoi c’est vrai

La formule. Écrivons le résultat des $n$ épreuves comme une suite de lettres S (succès) et E (échec). Une suite donnée qui contient exactement $k$ lettres S et $n - k$ lettres E a pour probabilité $p^k (1-p)^{n-k}$, car les épreuves sont indépendantes et l’on multiplie les probabilités. Toutes ces suites ont la même probabilité, et il y en a autant que de façons de placer les $k$ lettres S parmi $n$ positions, c’est-à-dire $\binom{n}{k}$. Ces suites étant des issues distinctes, on additionne : $P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^k (1-p)^{n-k}$.

La somme vaut 1. D’après la formule du binôme de Newton,

C’est de là que vient le nom de la loi.

L’espérance et la variance. On écrit $X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$, où $X_i$ vaut 1 si la $i$-ème épreuve est un succès et 0 sinon. Chaque $X_i$ a pour espérance $1 \times p + 0 \times (1-p) = p$, donc, par linéarité de l’espérance, $E(X) = np$. Chaque $X_i$ a pour variance $E(X_i^2) - E(X_i)^2 = p - p^2 = p(1-p)$, et comme les $X_i$ sont indépendantes, leurs variances s’ajoutent : $V(X) = np(1-p)$.

Les programmes de l’atelier vérifient tout cela par le calcul : coefficients binomiaux exacts en nombres entiers jusqu’à $n = 60$, somme des probabilités égale à 1, espérance $np$ et variance $np(1-p)$ sur 2 000 couples $(n, p)$ tirés au hasard, et comparaison avec 200 000 séries de 20 épreuves simulées pour chacune des trois valeurs de $p$ de l’affiche.

Un peu d’histoire

Les coefficients binomiaux sont bien plus anciens que la loi elle-même : ils figurent dans le triangle arithmétique, connu en Inde, dans le monde persan et arabe et en Chine bien avant que Blaise Pascal en fasse une étude systématique. La loi binomiale est introduite par Jacques Bernoulli dans Ars Conjectandi, publié en 1713, huit ans après sa mort. Il y démontre aussi la première version de la loi des grands nombres : la proportion de succès se rapproche de $p$ quand le nombre d’épreuves augmente. Les épreuves à deux issues portent aujourd’hui son nom.

En 1733, Abraham de Moivre montre que, pour $n$ grand, la loi binomiale de paramètre $p = \frac{1}{2}$ s’approche par une courbe en cloche, résultat généralisé ensuite par Laplace. À la fin du XIXe siècle, Francis Galton illustre ce phénomène avec sa planche à clous, où des billes rebondissent à gauche ou à droite à chaque rangée.

Ce que montre l’affiche

Le dessin montre les lois exactes du nombre de succès en $n = 20$ épreuves, pour trois probabilités de succès : $p = 0{,}2$, $p = 0{,}5$ et $p = 0{,}8$. Chaque barre a pour hauteur la probabilité $P(X = k)$ calculée par la formule, avec des coefficients binomiaux exacts ; là où deux lois se chevauchent, la barre la plus basse est placée devant. Un triangle sous l’axe marque chaque espérance $np$ (4, 10 et 16). Les lois pour 0,2 et 0,8 sont symétriques l’une de l’autre, puisque compter les succès avec $p$ revient à compter les échecs avec $1 - p$. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• Le triangle de Pascal, qui donne les coefficients binomiaux.
• La loi normale, vers laquelle tend la loi binomiale quand $n$ grandit.
• L’espérance mathématique et la variance et l’écart type, calculées ici pour la loi binomiale.
• Le théorème de Bayes, autre pilier des probabilités.

Sources : Loi binomiale (Wikipédia) (nouvel onglet), Binomial distribution (Wikipedia) (nouvel onglet), Binomial Distribution (MathWorld) (nouvel onglet), Binomial Distribution (NIST/SEMATECH e-Handbook) (nouvel onglet), Ars Conjectandi (Wikipedia) (nouvel onglet), Planche de Galton (Wikipédia) (nouvel onglet).