Le flocon de Koch

Ce que dit la formule

On part d’un triangle équilatéral de côté $a$ et d’aire $A_0$. À chaque étape, on découpe chaque côté en trois segments égaux, on construit sur le segment du milieu un triangle équilatéral tourné vers l’extérieur, puis on retire ce segment du milieu : chaque côté est remplacé par quatre segments trois fois plus courts. Après $n$ étapes, on obtient un polygone de périmètre $P_n$ et d’aire $A_n$. Le flocon de Koch est la figure limite quand $n$ tend vers l’infini, et

• $a$ : la longueur du côté du triangle de départ.
• $n$ : le nombre d’étapes de construction ($n = 0$ pour le triangle lui-même).
• $P_n$ : le périmètre après $n$ étapes ; il est multiplié par $\frac{4}{3}$ à chaque étape.
• $A_0 = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2$ : l’aire du triangle de départ.
• $A_n$ : l’aire après $n$ étapes ; elle vaut exactement $A_n = A_0\left(\frac{8}{5} - \frac{3}{5}\left(\frac{4}{9}\right)^{n}\right)$.
• La flèche $\longrightarrow$ indique la limite quand $n$ tend vers l’infini.

Le bord du flocon a une autre propriété remarquable : sa dimension fractale vaut $\frac{\ln 4}{\ln 3}$, soit environ 1,261 859 507. Ce n’est ni une ligne ordinaire (dimension 1) ni une surface (dimension 2).

Le sens des pointes compte. Si l’on tourne chaque petit triangle vers l’intérieur au lieu de l’extérieur, on obtient l’« anti-flocon », dont l’aire tend vers $\frac{2}{5}\,A_0$ et non vers $\frac{8}{5}\,A_0$. L’atelier contrôle les deux cas sur les polygones construits.

Un exemple

Prenons un triangle de côté $a = 9$ cm.

1. Périmètres. $P_0 = 3 \times 9 = 27$ cm. Puis $P_1 = 27 \times \frac{4}{3} = 36$ cm, $P_2 = 48$ cm, $P_3 = 64$ cm. Après dix étapes, $P_{10} = 27 \times \left(\frac{4}{3}\right)^{10} = \frac{1\,048\,576}{2\,187}$, environ 479,45 cm.
2. Le périmètre explose. Il atteint environ 850,44 m à l’étape 28 et dépasse 1 km à l’étape 29 (environ 1 133,93 m), alors que le flocon tient toujours dans une feuille de papier.
3. Aires. $A_0 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 81 = \frac{81\sqrt{3}}{4}$, environ 35,07 cm². À l’étape 1, on ajoute trois petits triangles de côté 3 cm : $A_1 = \frac{4}{3}A_0 = 27\sqrt{3}$, environ 46,76 cm². À l’étape 2, $A_2 = \frac{40}{27}A_0 = 30\sqrt{3}$, environ 51,96 cm².
4. L’aire plafonne. Elle tend vers $\frac{8}{5}A_0 = \frac{162\sqrt{3}}{5}$, environ 56,11 cm², sans jamais l’atteindre.

Pourquoi c’est vrai

Le périmètre. Le triangle a 3 côtés. Chaque étape remplace chaque côté par 4 côtés trois fois plus courts. Après $n$ étapes, il y a donc $3 \times 4^n$ côtés, chacun de longueur $\frac{a}{3^n}$, et le périmètre vaut

Comme $\frac{4}{3} > 1$, cette suite géométrique tend vers $+\infty$.

L’aire. À l’étape $k$ (pour $k \geq 1$), on ajoute un petit triangle sur chacun des $3 \times 4^{k-1}$ côtés de l’étape précédente. Ces petits triangles ont un côté $3^k$ fois plus petit que celui du triangle de départ, donc une aire $9^k$ fois plus petite : $\frac{A_0}{9^k}$. L’aire ajoutée à l’étape $k$ vaut donc

En additionnant ces termes d’une suite géométrique de raison $\frac{4}{9}$ pour $k = 1$ à $n$, on obtient $\frac{3}{5}A_0\left(1 - \left(\frac{4}{9}\right)^n\right)$, d’où $A_n = A_0\left(\frac{8}{5} - \frac{3}{5}\left(\frac{4}{9}\right)^{n}\right)$. Comme $\frac{4}{9} < 1$, le terme $\left(\frac{4}{9}\right)^n$ tend vers 0 et l’aire tend vers $\frac{8}{5}A_0$. On le voit aussi sans calcul : tout le flocon reste à l’intérieur du cercle qui passe par les trois sommets du triangle de départ, son aire ne peut donc pas devenir infinie.

La dimension. Chaque tiers de côté du flocon est fait de 4 copies de lui-même réduites d’un facteur 3. Pour une figure faite de $m$ copies réduites d’un facteur $k$, la dimension $d$ vérifie $m = k^d$ : un segment est fait de 2 copies de lui-même réduites d’un facteur 2 ($2 = 2^1$), un carré de 4 copies réduites d’un facteur 2 ($4 = 2^2$). Ici $4 = 3^d$, donc $d = \frac{\ln 4}{\ln 3}$. Que ce nombre soit bien la dimension de Hausdorff du bord se démontre, mais la preuve complète dépasse le cadre de cette page.

Les programmes de l’atelier construisent réellement les polygones jusqu’à l’étape 7 (49 152 côtés) et mesurent leurs périmètres et leurs aires : ils coïncident avec les formules à mieux qu’un millième de milliardième près. Ils vérifient aussi que la courbe ne se recoupe jamais à l’étape 4, que le flocon de l’étape 7 tient dans ce cercle, et qu’un comptage de petites cases recouvrant le bord donne une pente d’environ 1,259, proche de $\frac{\ln 4}{\ln 3}$.

Un peu d’histoire

La courbe est due au mathématicien suédois Helge von Koch, qui la présente en 1904 dans un article intitulé Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire. Son but était de donner un exemple géométrique, facile à se représenter, d’une courbe continue qui n’admet de tangente en aucun point ; un exemple de fonction continue nulle part dérivable avait déjà été donné par Karl Weierstrass, mais par une construction purement analytique. L’article de 1904 traite d’un seul côté, la « courbe de Koch » ; la forme fermée en flocon, faite de trois de ces courbes, n’y apparaît pas et a été popularisée ensuite.

Le flocon est devenu l’un des exemples types des fractales, mot introduit par Benoît Mandelbrot en 1975 pour désigner les figures dont les détails se répètent à toutes les échelles.

Ce que montre l’affiche

Le dessin montre le polygone de l’étape 5, avec ses 3 072 côtés, calculé par la construction elle-même : chaque côté est découpé en trois et remplacé par quatre segments, cinq fois de suite. Sa surface est teintée ; par-dessus, en trait de couleur, l’étoile à six branches de l’étape 1 et, en pointillé, le triangle équilatéral de départ. On voit ainsi les pointes ajoutées à chaque étape déborder de l’étoile. Sous la formule, l’affiche donne la dimension $\frac{\ln 4}{\ln 3}$, calculée avec neuf décimales exactes. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• L’ensemble de Mandelbrot, autre fractale célèbre, définie par une suite de nombres complexes.
• Les suites arithmétiques et géométriques, qui donnent le périmètre et l’aire du flocon.
• L’aire d’un triangle, pour retrouver l’aire $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ du triangle équilatéral.
• La spirale logarithmique, une autre figure qui reste semblable à elle-même quand on change d’échelle.

Sources : Flocon de Koch (Wikipédia) (nouvel onglet), Koch snowflake (Wikipedia) (nouvel onglet), Koch Snowflake (MathWorld) (nouvel onglet), Minkowski–Bouligand dimension (Wikipedia) (nouvel onglet).