Le rayon de Schwarzschild

Ce que dit la formule

En relativité générale, l’espace-temps autour d’une masse $M$ à symétrie sphérique, sans rotation et sans charge électrique est décrit par la solution de Schwarzschild des équations d’Einstein. Cette solution fait apparaître une longueur caractéristique :

• $r_s$ : le rayon de Schwarzschild, en mètres.
• $G$ : la constante de gravitation, environ $6{,}674\,30 \times 10^{-11}$ m³·kg⁻¹·s⁻² (CODATA 2022).
• $M$ : la masse de l’objet, en kilogrammes.
• $c$ : la vitesse de la lumière dans le vide, exactement $299\,792\,458$ m/s.

Ce que cela signifie. Si toute la masse tient à l’intérieur d’une sphère de rayon $r_s$, la surface de cette sphère est un horizon des événements : rien de ce qui la franchit vers l’intérieur, pas même la lumière, ne peut en ressortir. L’objet est un trou noir. Son « rayon » est défini de façon précise : c’est le rayon d’une sphère ordinaire qui aurait la même surface que l’horizon.

Pour un objet ordinaire, le rayon de Schwarzschild se trouve loin à l’intérieur de l’objet, là où la solution de Schwarzschild ne s’applique plus, puisqu’elle décrit seulement l’espace vide autour de la masse. La Terre et le Soleil n’ont donc pas d’horizon.

Pour un trou noir en rotation (solution de Kerr) ou chargé, la taille de l’horizon est donnée par d’autres formules.

Un exemple

En pratique, on connaît le produit $GM$ d’un astre bien mieux que $G$ et $M$ séparément, grâce au mouvement des planètes et des satellites. L’Union astronomique internationale donne $GM_\odot = 1{,}327\,124\,420\,99 \times 10^{20}$ m³/s² pour le Soleil et $GM_\oplus = 3{,}986\,004\,418 \times 10^{14}$ m³/s² pour la Terre.

Le Soleil.

soit environ 2,95 km, alors que son rayon réel est d’environ 695 700 km.

La Terre. Le même calcul donne environ 0,008 870 m, soit environ 8,87 mm : la taille d’une bille.

Sagittarius A*, le trou noir au centre de notre galaxie, a une masse d’environ 4,297 millions de masses solaires. Son rayon de Schwarzschild est donc 4,297 millions de fois celui du Soleil : environ $1{,}269 \times 10^{10}$ m, soit environ 12,69 millions de kilomètres, à peu près 18 fois le rayon du Soleil ou environ 0,084 unité astronomique.

Pourquoi c’est vrai

L’idée de la démonstration. La démonstration complète demande la relativité générale. Schwarzschild a cherché la forme la plus générale d’un espace-temps statique et à symétrie sphérique, vide de matière, qui vérifie les équations d’Einstein. Il a trouvé une solution exacte, qui s’écrit

La constante $r_s$ est fixée en exigeant que, loin de la masse, on retrouve la gravitation de Newton : cela impose $r_s = 2GM/c^2$. En $r = r_s$, le coefficient de $\mathrm{d}t^2$ s’annule : c’est l’horizon.

Une coïncidence newtonienne. En mécanique de Newton, la vitesse de libération à la distance $r$ d’une masse $M$ vaut $\sqrt{2GM/r}$. Elle atteint $c$ exactement pour $r = 2GM/c^2$. Ce raisonnement donne le même nombre, mais ce n’est pas une démonstration : en relativité, la lumière ne « retombe » pas comme une pierre, elle ne peut tout simplement plus s’éloigner.

La lumière autour d’un trou noir. La solution de Schwarzschild prévoit aussi que la lumière peut tourner en cercle à $1{,}5\, r_s$ (la sphère de photons), et qu’un rayon lumineux venu de loin est capturé si sa trajectoire visait le centre à moins de $\frac{3\sqrt{3}}{2}\, r_s$, environ $2{,}598\, r_s$.

Un peu d’histoire

L’idée d’astres si massifs que la lumière ne pourrait s’en échapper est ancienne. En 1783, le géologue anglais John Michell l’expose dans une lettre à Henry Cavendish, publiée par la Royal Society en 1784, avec un raisonnement newtonien sur la vitesse de libération. Pierre-Simon Laplace propose la même idée, indépendamment, en 1796 dans son Exposition du système du monde.

Albert Einstein publie les équations de la relativité générale en novembre 1915. Dès la fin de la même année, Karl Schwarzschild, astronome allemand alors mobilisé dans l’armée sur le front russe, en trouve la première solution exacte, pour une masse sphérique sans rotation ; elle est publiée en 1916. Schwarzschild meurt le 11 mai 1916, d’une maladie contractée au front.

Le sens physique du rayon de Schwarzschild a mis longtemps à être compris. En 1958, David Finkelstein l’interprète comme une membrane que l’on ne peut franchir que dans un sens. L’expression « trou noir » se répand à partir de 1967, quand John Wheeler l’adopte. Depuis, les trous noirs ont été observés : en 2022, la collaboration Event Horizon Telescope a publié la première image de l’environnement de Sagittarius A*.

Ce que montre l’affiche

Le dessin montre des rayons lumineux parallèles qui arrivent de la gauche près d’un trou noir, représenté par son horizon (le disque, de rayon $r_s$) et par la sphère de photons à $1{,}5\, r_s$ (le cercle en pointillé). Chaque trajectoire est calculée pas à pas avec l’équation des rayons lumineux de la solution de Schwarzschild. Les rayons qui passent à moins de $\frac{3\sqrt{3}}{2}\, r_s$ de l’axe sont capturés ; ceux qui passent juste au-delà s’enroulent autour du trou noir avant de repartir, et les plus lointains sont à peine déviés. Le dessin est calculé par des programmes écrits pour l’atelier ; l’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• Les équations d’Einstein, dont la solution de Schwarzschild est issue.
• La gravitation universelle, que la relativité générale retrouve loin des masses.
• La vitesse de la lumière, la constante $c$ de la formule.
• E = mc², l’autre grande formule d’Einstein.

Sources : Rayon de Schwarzschild (Wikipédia) (nouvel onglet), Schwarzschild radius (Wikipedia) (nouvel onglet), Photon sphere (Wikipedia) (nouvel onglet), paramètres GM de l’UAI (Current Best Estimates) (nouvel onglet), constante G (NIST) (nouvel onglet), Sagittarius A* (Wikipedia) (nouvel onglet), Karl Schwarzschild (Wikipedia) (nouvel onglet), Dark star (Wikipedia) (nouvel onglet).