Le théorème de Rolle

Ce que dit la formule

Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a < b$, et $f$ une fonction continue sur l’intervalle fermé $[a, b]$ et dérivable sur l’intervalle ouvert $]a, b[$. Alors :

• $[a, b]$ : l’intervalle fermé, bornes comprises ; $]a, b[$ : l’intervalle ouvert, bornes exclues (notation française ; on écrit aussi $(a, b)$).
• $f(a) = f(b)$ : la fonction prend la même valeur aux deux extrémités.
• $\Longrightarrow$ : « implique » ; $\exists$ : « il existe au moins un ».
• $c$ : un point situé strictement entre $a$ et $b$. Il peut y en avoir plusieurs ; le théorème ne dit pas où il se trouve, seulement qu’il existe.
• $f'(c) = 0$ : la dérivée s’annule en $c$, c’est-à-dire que la tangente à la courbe au point d’abscisse $c$ est horizontale.

Les deux hypothèses sont indispensables.

• Sans la dérivabilité : $f(x) = |x|$ sur $[-1, 1]$ est continue et vérifie $f(-1) = f(1) = 1$, mais sa dérivée vaut $-1$ à gauche de 0 et $1$ à droite, et elle n’existe pas en 0. Aucune tangente horizontale.
• Sans la continuité en une borne : la fonction qui vaut $x$ sur $[0, 1[$ et 0 en $x = 1$ vérifie $f(0) = f(1) = 0$ et est dérivable sur $]0, 1[$, mais sa dérivée y vaut toujours 1.

Un exemple

Un polynôme du second degré. Soit $f(x) = x^2 - 3x$ sur $[0, 3]$. C’est un polynôme, donc il est continu et dérivable partout, et $f(0) = 0 = f(3)$. Le théorème annonce un point $c$ entre 0 et 3 où $f'(c) = 0$. On le trouve : $f'(x) = 2x - 3$ s’annule en $c = \frac{3}{2}$, qui est bien dans $]0, 3[$. En ce point, $f\left(\frac{3}{2}\right) = -\frac{9}{4}$ : c’est le minimum de la parabole.

La fonction sinus. Sur $[0, \pi]$, $\sin 0 = \sin \pi = 0$, et la dérivée $\cos$ s’annule en $c = \frac{\pi}{2}$, au sommet de l’arche.

La courbe de l’affiche. Soit $f(x) = 2 + 0{,}35\,x(x - 1{,}2)(x - 2{,}9)(x - 4)$ sur $[0, 4]$. Le produit est nul en 0 et en 4, donc $f(0) = f(4) = 2$. Ici, la dérivée $f'(x) = 0{,}35\,(4x^3 - 24{,}3x^2 + 39{,}76x - 13{,}92)$ s’annule trois fois dans $]0, 4[$, en environ 0,479 5, 2,042 3 et 3,553 0 : le théorème garantit au moins un point $c$, il peut y en avoir davantage.

Pourquoi c’est vrai

La démonstration repose sur un résultat admis ici : une fonction continue sur un intervalle fermé borné $[a, b]$ y atteint un maximum $M$ et un minimum $m$ (théorème des bornes atteintes).

1. Si $M = m$, la fonction est constante sur $[a, b]$, sa dérivée est nulle partout et n’importe quel $c$ de $]a, b[$ convient.
2. Sinon, $M$ ou $m$ est différent de la valeur commune $f(a) = f(b)$. Supposons que ce soit $M$ (l’autre cas est symétrique). Le maximum est alors atteint en un point $c$ qui n’est ni $a$ ni $b$ : $c$ est dans $]a, b[$, où $f$ est dérivable.
3. Pour $h > 0$ petit, $f(c + h) \leq f(c)$, donc $\frac{f(c+h) - f(c)}{h} \leq 0$ ; à la limite, $f'(c) \leq 0$.
4. Pour $h < 0$, le numérateur est encore négatif ou nul mais le dénominateur est négatif, donc le quotient est positif ou nul ; à la limite, $f'(c) \geq 0$.
5. Donc $f'(c) = 0$.

On voit où servent les hypothèses : la continuité sur $[a, b]$ garantit l’existence du maximum, la dérivabilité en $c$ permet le passage à la limite.

Une conséquence majeure : les accroissements finis. Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$, sans condition sur $f(a)$ et $f(b)$, on applique le théorème de Rolle à $g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$, qui vérifie $g(a) = g(b) = f(a)$. On obtient un $c$ tel que $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ : quelque part, la vitesse instantanée égale la vitesse moyenne.

Les programmes de l’atelier vérifient le théorème par le calcul : pour 10 000 polynômes tirés au hasard qui prennent la même valeur en $a$ et en $b$, ils trouvent un zéro de la dérivée dans $]a, b[$, au point où le polynôme atteint son extremum ; ils contrôlent les deux contre-exemples ci-dessus et la conséquence sur les accroissements finis pour 1 000 fonctions.

Un peu d’histoire

Michel Rolle (1652-1719), membre de l’Académie royale des sciences, publie en 1691 la Démonstration d’une méthode pour résoudre les égalités de tous les degrés. Il y énonce le résultat pour les polynômes, sous une forme algébrique : entre deux racines d’un polynôme se trouve une racine d’un autre polynôme qu’il en déduit, que l’on reconnaît aujourd’hui comme la dérivée. Sa méthode n’utilise pas le calcul infinitésimal, dont il était d’ailleurs un critique déclaré.

Le passage à l’analyse vient plus tard. Selon Wikipédia en anglais, Cauchy en donne une démonstration en 1823, comme corollaire du théorème des accroissements finis. La démonstration moderne par le maximum, présentée plus haut, apparaît dans le cours de calcul différentiel de Joseph-Alfred Serret en 1868, sur une idée de Pierre-Ossian Bonnet. Le nom de « théorème de Rolle » s’impose au XIXe siècle ; il est employé par Moritz Wilhelm Drobisch en 1834 et par Giusto Bellavitis en 1846.

Ce que montre l’affiche

Le dessin trace la courbe de $f(x) = 2 + 0{,}35\,x(x - 1{,}2)(x - 2{,}9)(x - 4)$ entre $a = 0$ et $b = 4$. Les deux extrémités sont à la même hauteur, sur une ligne pointillée marquée $f(a) = f(b)$. Le programme cherche les points où la dérivée change de signe, en trouve trois, et les marque $c_1$, $c_2$ et $c_3$ : en chacun, un petit segment montre la tangente horizontale et une verticale pointillée descend jusqu’à l’axe. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La dérivée, pente de la tangente.
• La formule de Taylor, dont la forme de Lagrange se démontre avec le théorème de Rolle.
• Le théorème fondamental de l’analyse, autre pilier du calcul différentiel.
• La fonction exponentielle, dont l’unicité se démontre avec la même idée de dérivée nulle.

Sources : Théorème de Rolle (Wikipédia) (nouvel onglet), Rolle’s theorem (Wikipedia) (nouvel onglet), Rolle’s Theorem (MathWorld) (nouvel onglet), Michel Rolle (MacTutor) (nouvel onglet).