L’identité d’Euler

Ce que dit l’identité

Autrement dit, $e^{i\pi} = -1$. Chacun des cinq nombres qui y figurent joue un rôle central en mathématiques :

• $0$, l’élément neutre de l’addition : $x + 0 = x$.
• $1$, l’élément neutre de la multiplication : $x \times 1 = x$.
• $e$, environ 2,718 281 828, la base de l’exponentielle et du logarithme népérien.
• $\pi$, environ 3,141 592 653, le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre.
• $i$, l’unité imaginaire, un nombre tel que $i^2 = -1$. Il n’est pas réel : on l’introduit pour construire les nombres complexes, de la forme $x + iy$ avec $x$ et $y$ réels.

Reste à savoir ce que veut dire « $e$ puissance un nombre complexe ». On ne peut pas multiplier $e$ par lui-même « $i\pi$ fois ». Pour un nombre complexe $z$, on définit l’exponentielle par la somme infinie

où $n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n$. Cette somme converge pour tout nombre complexe $z$, et pour $z$ réel elle redonne l’exponentielle habituelle. L’identité d’Euler dit que cette somme vaut exactement $-1$ quand $z = i\pi$.

Un exemple

On peut voir la somme se rapprocher de $-1$ en calculant ses premiers termes avec $z = i\pi$. Les puissances de $i$ se répètent : $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$, puis le cycle recommence.

1. Avec les trois premiers termes : $1 + i\pi + \frac{(i\pi)^2}{2} = 1 - \frac{\pi^2}{2} + i\pi$, soit environ $-3{,}9348 + 3{,}1415\,i$. On est encore loin.
2. En allant jusqu’au terme en $z^4$ : environ $0{,}1239 - 2{,}0261\,i$.
3. Jusqu’au terme en $z^6$ : environ $-1{,}2113 + 0{,}5240\,i$.
4. Jusqu’au terme en $z^{10}$ : environ $-1{,}0018 + 0{,}0069\,i$.
5. Jusqu’au terme en $z^{20}$ : environ $-0{,}999\,999\,999\,9 - 0{,}000\,000\,000\,5\,i$.

La partie réelle s’approche de $-1$ et la partie imaginaire de $0$ : la somme infinie vaut exactement $-1$, et l’on retrouve bien $e^{i\pi} + 1 = 0$.

Une autre approche part de la définition de $e$ par les intérêts composés : pour tout nombre complexe $z$, $\left(1 + \frac{z}{n}\right)^n$ tend vers $e^z$ quand $n$ devient grand. Avec $z = i\pi$, chaque facteur $1 + \frac{i\pi}{n}$ fait tourner d’un petit angle et agrandit très légèrement. Le calcul donne environ $-1{,}5933 + 0{,}1560\,i$ pour $n = 10$, environ $-1{,}0505 + 0{,}0010\,i$ pour $n = 100$, et environ $-1{,}000\,004\,9$ (partie imaginaire inférieure à $10^{-10}$) pour $n = 1\,000\,000$. Les $n$ petites rotations finissent par former un demi-tour, et le résultat s’approche de $-1$.

Pourquoi c’est vrai

L’identité est le cas particulier $\theta = \pi$ de la formule d’Euler, vraie pour tout réel $\theta$ :

Comme $\cos\pi = -1$ et $\sin\pi = 0$, on obtient $e^{i\pi} = -1 + i \times 0 = -1$, puis $e^{i\pi} + 1 = 0$.

La formule d’Euler elle-même se démontre en remplaçant $z$ par $i\theta$ dans la somme qui définit l’exponentielle. Les termes de rang pair sont réels et forment la somme qui définit $\cos\theta$ ; les termes de rang impair contiennent $i$ et forment $i$ fois la somme qui définit $\sin\theta$. La démonstration est détaillée sur la page de la formule d’Euler.

Il existe aussi une lecture géométrique. Dans le plan des nombres complexes, $e^{i\theta}$ est le point du cercle de rayon 1 situé à l’angle $\theta$, mesuré en radians depuis le point $1$. Multiplier un nombre par $e^{i\theta}$ revient à le faire tourner de l’angle $\theta$ autour de $0$. Un angle de $\pi$ radians, c’est un demi-tour : partant de $1$, on arrive à $-1$. Un tour complet donne $e^{2i\pi} = 1$.

On peut aussi s’en faire une idée par le mouvement, à titre d’intuition et non de preuve. Imaginons un point qui se trouve, à l’instant $t$, en $e^{it}$. Sa vitesse est la dérivée $i\,e^{it}$ : multiplier par $i$ fait tourner d’un quart de tour, donc la vitesse est toujours perpendiculaire à la position, et sa longueur vaut 1. Un point dont la vitesse est toujours perpendiculaire au rayon tourne en rond, ici sur le cercle de rayon 1 à la vitesse 1. Au bout d’un temps $\pi$, il a parcouru une longueur $\pi$, soit un demi-cercle : il est en $-1$.

Une conséquence surprenante : $i\pi$ n’est pas le seul nombre dont l’exponentielle vaut $-1$. Trois demi-tours, ou un demi-tour dans l’autre sens, mènent aussi à $-1$ : $e^{3i\pi} = e^{-i\pi} = -1$, et plus généralement $e^{i\pi + 2ik\pi} = -1$ pour tout entier $k$. C’est pourquoi, chez les nombres complexes, le logarithme de $-1$ n’a pas une valeur unique : il faut choisir une détermination, la plus courante étant $i\pi$.

Un peu d’histoire

Leonhard Euler publie la formule $e^{i\theta} = \cos\theta + i\,\sin\theta$ en 1748, dans son Introductio in analysin infinitorum. L’identité en découle immédiatement, mais rien n’indique qu’Euler l’ait écrite lui-même sous la forme $e^{i\pi} + 1 = 0$. Selon l’historien des mathématiques Robin Wilson, Johann Bernoulli et Roger Cotes auraient pu la déduire de leurs propres travaux sans l’avoir fait, et l’on ignore qui l’a énoncée explicitement le premier.

Elle est souvent citée comme l’une des plus belles formules des mathématiques. En 1988, la revue The Mathematical Intelligencer a demandé à ses lecteurs de noter la beauté de 24 théorèmes ; dans les résultats publiés par David Wells en 1990, l’identité d’Euler arrive en tête. En 2004, un sondage des lecteurs du magazine Physics World l’a placée à égalité avec les équations de Maxwell comme « plus grande équation ».

Ce que montre l’affiche

Le dessin représente le cercle de rayon 1 du plan complexe, avec ses deux axes et une graduation tous les 5 degrés. Le point $e^{i\theta}$ part de $1$, marqué d’un rond vide, et parcourt le demi-cercle supérieur, tracé en gras, jusqu’à $-1$, marqué d’un rond plein, pendant que $\theta$ va de $0$ à $\pi$. Des rayons tous les $\pi/12$ et un petit arc marqué $\pi$ matérialisent l’angle parcouru. Le dessin est calculé par des programmes écrits pour l’atelier, à partir de la formule elle-même, et existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La formule d’Euler, dont l’identité est un cas particulier.
• Le nombre e, base de l’exponentielle.
• La formule de Leibniz pour π et l’intégrale de Gauss, deux autres apparitions inattendues de $\pi$.
• Les équations de Maxwell, avec lesquelles l’identité d’Euler a partagé la première place du sondage de Physics World.