Les suites arithmétiques et géométriques

Ce que dit la formule

Une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est définie par $u_{k+1} = u_k + r$ : on ajoute $r$ à chaque étape, donc $u_k = u_0 + kr$. Une suite géométrique de raison $q$ est définie par $v_{k+1} = q\,v_k$ : on multiplie par $q$ à chaque étape, donc $v_k = v_0\,q^k$. Pour tout entier naturel $n$ :

• $\sum_{k=0}^{n}$ signifie que l’on additionne les termes obtenus pour $k = 0, 1, 2, \ldots, n$ : il y en a $n + 1$.
• Dans la première ligne, $u_0 + kr$ est le terme de rang $k$ de la suite arithmétique, et $u_n = u_0 + nr$ est le dernier terme additionné. La somme vaut le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier.
• Dans la seconde ligne, $q^k$ est le terme de rang $k$ de la suite géométrique de premier terme 1. Pour un premier terme $v_0$ quelconque, on multiplie le tout par $v_0$ : $\sum_{k=0}^{n} v_0\,q^k = v_0\,\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.
• La condition $q \neq 1$ est indispensable : pour $q = 1$, le dénominateur est nul. Dans ce cas, tous les termes valent 1 et la somme vaut simplement $n + 1$.

Les deux formules valent aussi pour des raisons $r$ et $q$ négatives ou non entières. Quand $-1 < q < 1$, la puissance $q^{n+1}$ tend vers 0 et la somme infinie existe : $\sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{1}{1 - q}$.

Un exemple

La somme des entiers de 1 à 100. C’est une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 1, avec 100 termes ($n = 99$, $u_{99} = 100$) :

Une suite arithmétique quelconque. Avec $u_0 = 5$ et $r = 3$, les termes sont $5, 8, 11, \ldots$ ; le dixième, de rang 9, vaut $u_9 = 5 + 9 \times 3 = 32$, et la somme des dix premiers vaut $\frac{10 \times (5 + 32)}{2} = 185$.

Les puissances de 2. Avec $q = 2$ et $n = 9$ :

Les moitiés successives. Avec $q = \frac{1}{2}$ et $n = 8$ :

La somme se rapproche de 2 sans jamais l’atteindre ; c’est ce que montre le rectangle de l’affiche.

Pourquoi c’est vrai

Pour la suite arithmétique, on écrit la somme deux fois, une fois à l’endroit et une fois à l’envers, et l’on additionne terme à terme :

Chaque colonne donne $u_k + u_{n-k} = (u_0 + kr) + (u_0 + (n - k)r) = u_0 + u_n$, toujours la même valeur. Il y a $n + 1$ colonnes, donc $2S = (n + 1)(u_0 + u_n)$, ce qui donne la formule. C’est exactement la figure de l’affiche : deux escaliers identiques, l’un retourné, forment un rectangle de $n + 1$ colonnes et de hauteur $u_0 + u_n$.

Pour la suite géométrique, on note $S = 1 + q + q^2 + \cdots + q^n$ et l’on multiplie par $q$ :

En soustrayant, presque tous les termes se compensent : $S - qS = 1 - q^{n+1}$, soit $(1 - q)\,S = 1 - q^{n+1}$. Comme $q \neq 1$, on peut diviser par $1 - q$, ce qui donne la formule. On voit au passage pourquoi $q = 1$ est exclu : l’égalité devient $0 = 0$ et ne dit plus rien de $S$.

Pour $q = \frac{1}{2}$, le reste $2 - S$ vaut $\frac{q^{n+1}}{1 - q} = \frac{1}{2^n}$ : c’est l’aire du petit morceau laissé vide dans le rectangle de l’affiche.

Un peu d’histoire

Les progressions sont parmi les plus anciens objets mathématiques écrits. Le papyrus Rhind, copié par le scribe Ahmès vers 1550 avant notre ère, partage des pains selon une progression arithmétique (problème 40) et additionne cinq termes d’une progression géométrique de raison 7 : 7 maisons, 49 chats, 343 souris, 2 401 épis, 16 807 mesures de grain (problème 79), soit au total $7 \times \frac{7^5 - 1}{7 - 1} = 19\,607$.

Dans les Éléments d’Euclide, la proposition 35 du livre IX donne la somme d’une progression géométrique finie. Au IIIe siècle avant notre ère, Archimède utilise une somme géométrique infinie, $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \cdots = \frac{4}{3}$, pour calculer l’aire d’un segment de parabole.

Une histoire populaire raconte que le jeune Carl Friedrich Gauss, à l’école, aurait trouvé en quelques instants la somme des entiers de 1 à 100 en les regroupant par paires de somme 101. Les détails de l’anecdote ne sont pas établis, mais l’astuce est bien celle de la démonstration ci-dessus.

Ce que montre l’affiche

À gauche, la figure de la somme arithmétique : les colonnes de 1, 2, …, 10 carreaux (la suite $u_k = 1 + k$ pour $k$ de 0 à 9) forment un escalier, et le même escalier retourné le complète en un rectangle de $10 \times 11$ carreaux, d’où $\frac{10 \times 11}{2} = 55$. À droite, un rectangle d’aire 2 est découpé en spirale en morceaux d’aires $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \ldots, \frac{1}{256}$, pris tour à tour en bas, à gauche, en haut et à droite ; il reste un petit carré vide d’aire $\frac{1}{256}$, d’où la somme $2 - \frac{1}{2^8}$. Les deux sommes sont écrites sous les dessins, calculées par le programme. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La suite de Fibonacci, une suite définie elle aussi par récurrence, ni arithmétique ni géométrique.
• Le problème de Bâle et la formule de Leibniz, d’autres sommes infinies célèbres.
• Le triangle de Pascal, dont les lignes ont pour sommes les puissances de 2.
• Suite géométrique sur Wikipédia (nouvel onglet) et Geometric Series sur Wolfram MathWorld (nouvel onglet), en anglais.