La série de Fourier

Ce que dit la formule

Soit $f$ l’onde carrée (ou signal carré) : la fonction périodique de période $2\pi$ qui vaut $1$ pour $0 < x < \pi$ et $-1$ pour $\pi < x < 2\pi$. Pour tout réel $x$ qui n’est pas un multiple de $\pi$ :

• $x$ est la variable, par exemple un temps ou un angle.
• $\sum_{k=0}^{\infty}$ est une somme infinie : $\frac{4}{\pi}\left(\sin x + \frac{\sin 3x}{3} + \frac{\sin 5x}{5} + \cdots\right)$. Seules les fréquences impaires apparaissent.
• $\frac{1}{2k+1}$ est l’amplitude de chaque sinusoïde : plus la fréquence est haute, plus elle est faible.
• Aux sauts ($x = 0, \pi, 2\pi\ldots$), chaque sinus est nul, donc la série vaut $0$ : c’est la moyenne des valeurs $1$ et $-1$ de part et d’autre du saut. L’égalité n’est donc affirmée qu’en dehors de ces points.

Le cas général. Pour une fonction $f$ de période $2\pi$, intégrable sur une période, on définit ses coefficients de Fourier

et sa série de Fourier $\frac{a_0}{2} + \sum_{n \geq 1} \big(a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)\big)$.

Cette série ne converge pas toujours vers $f$. Le théorème de Dirichlet donne une condition suffisante : si $f$ est de classe $C^1$ par morceaux (sur chaque période, $f$ et sa dérivée sont continues sauf en un nombre fini de points, où elles ont des limites finies à gauche et à droite), alors en tout point $x$ la série converge vers $\frac{f(x^-) + f(x^+)}{2}$, moyenne des limites à gauche et à droite. Là où $f$ est continue, cette moyenne est simplement $f(x)$. Sans hypothèse de ce genre, la convergence peut échouer : il existe des fonctions continues dont la série de Fourier diverge en certains points.

Un exemple

Prenons $x = \frac{\pi}{2}$, où l’onde carrée vaut 1. On a $\sin\big((2k+1)\frac{\pi}{2}\big) = 1, -1, 1, -1\ldots$, et la formule devient

c’est-à-dire la formule de Leibniz $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots = \frac{\pi}{4}$.

Les sommes partielles oscillent autour de 1 en s’en rapprochant :

• 1 terme : $\frac{4}{\pi}$, environ 1,2732 ;
• 2 termes : $\frac{4}{\pi} \times \frac{2}{3}$, environ 0,8488 ;
• 3 termes : $\frac{4}{\pi} \times \frac{13}{15}$, environ 1,1034 ;
• 10 termes : environ 0,9682 ;
• 1 000 termes : environ 0,99968.

Un deuxième calcul, par l’énergie. L’égalité de Parseval dit que, pour une fonction de carré intégrable, $\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x)^2\,\mathrm{d}x = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n \geq 1}\left(a_n^2 + b_n^2\right)$. Pour l’onde carrée, $f(x)^2 = 1$, donc le membre de gauche vaut $\frac{2\pi}{\pi} = 2$. À droite, il ne reste que les $b_n^2 = \frac{16}{\pi^2 n^2}$ pour $n$ impair. On obtient

soit environ 1,233700, ce que confirme une somme de dix millions de termes. On en déduit la célèbre somme du problème de Bâle, $\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$, car les termes impairs en représentent les trois quarts.

Pourquoi c’est vrai

Les coefficients. Les formules de $a_n$ et $b_n$ viennent de l’orthogonalité des sinus et cosinus : sur une période, $\int_0^{2\pi} \sin(mx)\sin(nx)\,\mathrm{d}x$ vaut $\pi$ si $m = n \geq 1$ et $0$ sinon, et l’intégrale d’un produit sinus-cosinus est toujours nulle. Multiplier la série par $\sin(nx)$ puis intégrer isole donc le seul coefficient $b_n$.

Pour l’onde carrée, la fonction est impaire, donc tous les $a_n$ sont nuls. Pour $b_n$ :

Si $n$ est pair, $b_n = 0$ ; si $n$ est impair, $b_n = \frac{4}{n\pi}$. En posant $n = 2k + 1$, on retrouve exactement la formule.

La convergence. L’onde carrée est constante sur chaque morceau, donc de classe $C^1$ par morceaux : le théorème de Dirichlet s’applique. La série converge vers $f(x)$ hors des sauts et vers $0$ aux sauts. La démonstration de ce théorème dépasse le cadre de cette page ; elle repose sur une expression explicite des sommes partielles (le noyau de Dirichlet).

Le phénomène de Gibbs. Près d’un saut, les sommes partielles dépassent la valeur 1. Avec $N$ termes, le pic est situé en $x = \frac{\pi}{2N}$ ; il vaut environ 1,1823 pour 5 termes, 1,1794 pour 14 termes, et tend vers environ 1,17898 quand $N$ grandit. Le dépassement, environ 0,1789 pour un saut de hauteur 2, représente environ 8,9 % du saut (on arrondit souvent à 9 %), et il ne disparaît pas : le pic se rapproche du saut sans s’aplatir. La convergence a bien lieu en chaque point, mais elle n’est pas uniforme près des discontinuités.

Un peu d’histoire

Des sommes de sinus apparaissent dès les années 1750 dans les débats entre d’Alembert, Euler et Daniel Bernoulli sur les vibrations d’une corde. Joseph Fourier, étudiant la propagation de la chaleur, affirme qu’une fonction très générale peut s’écrire ainsi. Il présente un premier mémoire en 1807, complété en 1811, puis publie en 1822 la Théorie analytique de la chaleur. Ses raisonnements sont alors jugés insuffisamment rigoureux.

Le premier théorème de convergence correct est dû à Peter Gustav Lejeune Dirichlet, en 1829. Le dépassement près des sauts est décrit par Henry Wilbraham dès 1848, sans grand écho. Il réapparaît à la fin du XIXe siècle sur les courbes de la machine à sommer les séries d’Albert Michelson ; Josiah Willard Gibbs en donne l’explication mathématique, et Maxime Bôcher lui donne le nom de phénomène de Gibbs en 1906.

Ce que montre l’affiche

L’affiche superpose, sur deux périodes ($x$ de 0 à $4\pi$), les sommes partielles de 1 à 14 termes de la série, calculées point par point par un programme écrit pour l’atelier. La première, une simple sinusoïde, est la plus claire ; chaque nouveau terme ajoute une ondulation plus fine, et les courbes se rapprochent des paliers $1$ et $-1$ de l’onde carrée. La somme de 14 termes, en trait plus épais, montre près de chaque saut les petites oscillations du phénomène de Gibbs. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La transformée de Fourier, le prolongement de cette idée aux fonctions non périodiques.
• L’équation de la chaleur, que Fourier voulait résoudre.
• La formule de Leibniz, qui apparaît en $x = \pi/2$.
• L’onde carrée sur Wolfram MathWorld (nouvel onglet), en anglais.