Le logarithme népérien

Ce que dit la formule

Pour tout réel $x$ strictement positif, le logarithme népérien de $x$ est défini par une intégrale, et il vérifie une règle de calcul remarquable : pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$,

• $\ln x$ : le logarithme népérien, ou naturel, de $x$.
• $\int_{1}^{x} \frac{\mathrm{d}t}{t}$ : l’intégrale de la fonction $t \mapsto \frac{1}{t}$ de 1 à $x$. Pour $x > 1$, c’est l’aire sous l’hyperbole $y = \frac{1}{t}$ entre $t = 1$ et $t = x$ ; pour $0 < x < 1$, les bornes sont dans l’autre sens et l’intégrale vaut l’opposé de l’aire entre $x$ et 1, donc $\ln x < 0$.
• $t$ : la variable d’intégration, qui va de 1 à $x$.
• $a$, $b$ : deux réels strictement positifs ; $ab$ est leur produit.

Autrement dit, $\ln$ est la primitive de $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $]0\,; +\infty[$ qui s’annule en 1 : $\ln 1 = 0$ et $(\ln x)' = \frac{1}{x}$. C’est aussi la fonction réciproque de la fonction exponentielle : $e^{\ln x} = x$ pour $x > 0$ et $\ln(e^y) = y$ pour tout réel $y$. En particulier $\ln e = 1$.

Règles qui en découlent, pour $a > 0$ et $b > 0$ : $\ln\frac{1}{a} = -\ln a$, $\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$, et $\ln(a^n) = n \ln a$ pour tout entier $n$ (et même tout réel $n$).

Les conditions comptent. Le logarithme d’un nombre négatif ou nul n’est pas défini en analyse réelle : l’intégrale ne peut pas franchir $t = 0$, où $\frac{1}{t}$ n’existe pas. Avec $a = b = -2$, le produit $ab = 4$ a bien un logarithme, environ 1,386, mais $\ln(-2) + \ln(-2)$ n’a aucun sens. Pour des nombres non nuls de signe quelconque, la règle correcte est $\ln|ab| = \ln|a| + \ln|b|$.

Un exemple

Un logarithme connu en donne d’autres. Sachant que $\ln 2$ vaut environ 0,693 147 et $\ln 3$ environ 1,098 612 :

1. $\ln 8 = \ln(2^3) = 3 \ln 2$, environ 2,079 441.
2. $\ln 6 = \ln 2 + \ln 3$, environ 1,791 759.
3. $\ln \frac{1}{2} = -\ln 2$, environ $-0{,}693\,147$.

Résoudre une équation où l’inconnue est en exposant. À partir de combien de doublements dépasse-t-on 1 000 ? On cherche le plus petit entier $n$ tel que $2^n > 1\,000$. Le logarithme est strictement croissant, donc cette inégalité équivaut à $n \ln 2 > \ln 1\,000$, soit $n > \frac{\ln 1\,000}{\ln 2}$, environ 9,965 7. Il faut donc $n = 10$ doublements : on vérifie que $2^9 = 512$ et $2^{10} = 1\,024$.

Pourquoi c’est vrai

Par la dérivée. Fixons $a > 0$ et posons, pour $x > 0$, $g(x) = \ln(ax) - \ln x$. En dérivant, $g'(x) = a \times \frac{1}{ax} - \frac{1}{x} = 0$. Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante, donc $g(x) = g(1) = \ln a - \ln 1 = \ln a$. Ainsi $\ln(ax) = \ln a + \ln x$ pour tout $x > 0$ ; on prend $x = b$.

Par les aires, comme sur l’affiche. On découpe l’intégrale en deux : $\ln(ab) = \int_1^a \frac{\mathrm{d}t}{t} + \int_a^{ab} \frac{\mathrm{d}t}{t}$. Dans la seconde, on pose $t = a u$, donc $\mathrm{d}t = a\,\mathrm{d}u$, et $u$ va de 1 à $b$ :

Géométriquement : étirer une bande sous l’hyperbole d’un facteur $a$ en largeur l’écrase du même facteur en hauteur, car la hauteur est $\frac{1}{t}$. L’aire ne change pas. L’aire de $a$ à $ab$ est donc toujours celle de 1 à $b$ : de 1 à 2, de 2 à 4 et de 4 à 8, on trouve chaque fois $\ln 2$.

Les programmes de l’atelier vérifient tout cela par le calcul : l’intégrale calculée par la méthode de Simpson redonne $\ln x$ sur 1 000 valeurs ; la règle $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ est contrôlée sur 300 couples avec la seule intégrale, puis sur 10 000 couples ; $\ln 2$ est recalculé par la série $\sum \frac{1}{n\,2^n}$ et comparé à ses décimales publiées (suite A002162 de l’OEIS).

Un peu d’histoire

Les logarithmes naissent comme outil de calcul : en 1614, l’Écossais John Napier (Neper en français) publie Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, avec des tables qui ramènent multiplications et divisions à des additions et des soustractions. Le logarithme « népérien » porte son nom en hommage, mais ses tables ne sont pas, à proprement parler, des tables de logarithmes népériens.

Le lien avec l’aire sous l’hyperbole vient ensuite. On date en général cette découverte des travaux de Grégoire de Saint-Vincent, publiés en 1647 : il montre que ces aires ont la propriété d’additivité des logarithmes, et son élève Alphonse Antoine de Sarasa fait explicitement le rapprochement en 1649. On a longtemps parlé de « logarithme hyperbolique ». En 1668, Nicolaus Mercator publie le développement en série de $\ln(1 + x)$, qui permet de calculer ces logarithmes. Euler, dans son Introductio in analysin infinitorum de 1748, l’appelle logarithme « naturel ou hyperbolique » et le relie à la base $e$. La notation $\ln$ est celle recommandée par les normes, notamment ISO 80000-2 ; beaucoup de mathématiciens et de langages de programmation écrivent encore $\log$.

Ce que montre l’affiche

Le dessin trace l’hyperbole $y = \frac{1}{t}$ pour $t$ positif et colorie, sous la courbe, quatre bandes : de $\frac{1}{2}$ à 1, de 1 à 2, de 2 à 4 et de 4 à 8. Chaque bande est deux fois plus large que la précédente, et deux fois moins haute ; le programme calcule son aire par intégration numérique et trouve chaque fois $\ln 2$, environ 0,693. L’étiquette « $\ln 2$ » est posée dans la bande quand elle y tient, sinon juste à côté ; les bornes sont écrites sous l’axe. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• La fonction exponentielle, sa fonction réciproque.
• Le nombre e, défini par $\ln e = 1$.
• Le théorème fondamental de l’analyse, qui fait de $\ln$ une primitive de $\frac{1}{x}$.
• La spirale logarithmique, une courbe où le logarithme règle l’angle.
• La formule de Taylor, qui donne la série de $\ln(1 + x)$ près de 0.

Sources : Logarithme népérien (Wikipédia) (nouvel onglet), Natural logarithm (Wikipedia) (nouvel onglet), Natural Logarithm (MathWorld) (nouvel onglet), Suite A002162 (OEIS) (nouvel onglet), John Napier (Wikipedia) (nouvel onglet).