Le déterminant

Ce que dit la formule

Pour toute matrice carrée de taille 2 à coefficients réels :

• $a$, $b$, $c$, $d$ sont les quatre coefficients de la matrice : $a$ et $b$ sur la première ligne, $c$ et $d$ sur la seconde.
• Les colonnes de la matrice sont les vecteurs $\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}$.
• $ad$ est le produit de la diagonale principale, $bc$ celui de l’autre diagonale ; le déterminant est leur différence.
• $\det$ se lit « déterminant ». On écrit aussi $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$, avec des barres droites.

Trois propriétés donnent tout son sens à ce nombre :

• Aire. Dans un repère orthonormé, $|ad - bc|$ est l’aire du parallélogramme construit sur les deux colonnes. Le signe indique l’orientation : le déterminant est positif quand on tourne de la première colonne vers la seconde dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (moins d’un demi-tour), négatif dans l’autre sens.
• Inversibilité. La matrice est inversible si et seulement si $ad - bc \neq 0$. Dans ce cas, son inverse vaut $\frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.
• Produit. Pour deux matrices carrées $A$ et $B$ de même taille, $\det(AB) = \det(A)\,\det(B)$.

Le déterminant existe pour toute matrice carrée, de n’importe quelle taille. En taille 3, la règle de Sarrus donne

Cette règle ne marche qu’en taille 3 ; au-delà, on développe selon une ligne ou une colonne (développement par cofacteurs), ou l’on échelonne la matrice.

Un exemple

Prenons la matrice de l’affiche, $a = 3$, $b = 1$, $c = 1$, $d = 2$ :

Le parallélogramme construit sur les vecteurs $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ a donc une aire de 5 unités. En échangeant les deux colonnes, on obtient $1 \times 1 - 3 \times 2 = -5$ : même aire, orientation inverse.

Le déterminant étant non nul, la matrice est inversible, et le système

a une solution unique. Par les formules de Cramer, $x = \frac{5 \times 2 - 1 \times 5}{5} = 1$ et $y = \frac{3 \times 5 - 5 \times 1}{5} = 2$. Vérification : $3 + 2 = 5$ et $1 + 4 = 5$.

Pour le produit, avec $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ (déterminant $2$), on trouve $AB = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$, dont le déterminant vaut $14 - 4 = 10 = 5 \times 2$.

En taille 3, pour $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$, la règle de Sarrus donne $12 + 0 + 0 - 0 - 2 - 2 = 8$, et le développement selon la première ligne donne le même résultat : $2 \times (3 \times 2 - 1 \times 1) - 1 \times (1 \times 2 - 1 \times 0) + 0 = 10 - 2 = 8$.

Pourquoi c’est vrai

Montrons que $ad - bc$ est bien l’aire du parallélogramme, dans le cas de la figure de l’affiche, où les quatre nombres sont positifs et où la première colonne est « couchée » sous la seconde ($ad > bc$).

Le parallélogramme a pour sommets $O(0\,;0)$, $U(a\,;c)$, $V(b\,;d)$ et $W(a + b\,;c + d)$. Il est contenu dans le rectangle de côtés $a + b$ et $c + d$, d’aire $(a + b)(c + d)$. Autour de lui, le rectangle contient six morceaux :

• deux triangles rectangles de côtés $a$ et $c$, d’aire $\frac{ac}{2}$ chacun ;
• deux triangles rectangles de côtés $b$ et $d$, d’aire $\frac{bd}{2}$ chacun ;
• deux rectangles de côtés $b$ et $c$, d’aire $bc$ chacun.

L’aire du parallélogramme vaut donc

Avec les valeurs de l’affiche : $12 - (1{,}5 + 1{,}5 + 1 + 1 + 1 + 1) = 12 - 7 = 5$.

Cette figure ne couvre qu’une configuration. La démonstration générale utilise trois propriétés de l’aire orientée $A(\vec{u}, \vec{v})$ : elle change de signe quand on échange les vecteurs, elle est linéaire par rapport à chacun d’eux (cisailler un parallélogramme ne change pas son aire), et elle vaut 1 pour le carré unité. En écrivant $\vec{u} = a\,\vec{i} + c\,\vec{j}$ et $\vec{v} = b\,\vec{i} + d\,\vec{j}$, ces trois règles donnent $A(\vec{u}, \vec{v}) = ad\,A(\vec{i}, \vec{j}) + cb\,A(\vec{j}, \vec{i}) = ad - bc$, quelle que soit la position des vecteurs. Ce sont exactement les propriétés qui caractérisent le déterminant dans toutes les dimensions.

Un peu d’histoire

Le déterminant est apparu avant les matrices, pour résoudre des systèmes d’équations linéaires. On le trouve indépendamment chez le Japonais Seki Takakazu en 1683 et chez Gottfried Wilhelm Leibniz en 1693. En 1750, Gabriel Cramer publie, sans démonstration, la règle qui exprime la solution d’un système à l’aide de déterminants, celle utilisée dans l’exemple ci-dessus.

Le mot « déterminant » vient de Carl Friedrich Gauss, en 1801, mais dans un autre sens : il désignait une quantité attachée aux formes quadratiques. Augustin-Louis Cauchy l’emploie dans son sens actuel en 1812 et démontre la règle du produit $\det(AB) = \det(A)\,\det(B)$. La règle de Sarrus porte le nom du mathématicien français Pierre Frédéric Sarrus.

Ce que montre l’affiche

Le dessin reprend la démonstration par les aires, avec $a = 3$, $b = 1$, $c = 1$ et $d = 2$. Les deux colonnes de la matrice sont tracées en flèches depuis l’origine, et le parallélogramme qu’elles engendrent est posé dans un rectangle $4 \times 3$, quadrillé en carrés unités. Les six morceaux qui l’entourent sont colorés par paires (triangles $ac$, triangles $bd$, rectangles $bc$), les longueurs $a$, $b$, $c$, $d$ sont reportées le long des bords, et le centre porte $ad - bc = 5$, calculé par le programme. L’affiche existe en quatre styles : Papier, Nuit, Bauhaus et Tableau noir.

Pour aller plus loin

• Le produit scalaire, l’autre opération fondamentale sur les vecteurs du plan.
• Le théorème de Pythagore, où la preuve par réarrangement d’aires suit la même idée.
• Déterminant (mathématiques) sur Wikipédia (nouvel onglet) et Determinant sur Wolfram MathWorld (nouvel onglet), en anglais.