Formules d’aire, de périmètre et de volume : le formulaire de géométrie complet

Quelles sont les formules d’aire et de périmètre des figures planes ?

Le périmètre est la longueur du contour d’une figure ; il s’exprime dans une unité de longueur (cm, m). L’aire est la mesure de la surface qu’elle couvre ; elle s’exprime en unités d’aire (cm², m²). Toutes les longueurs d’un même calcul doivent être dans la même unité.

La page de l’aire d’un triangle explique pourquoi on divise par 2, et celle du périmètre et de l’aire du disque d’où vient le nombre $\pi$. Les deux ont une calculatrice : aire d’un triangle, cercle et disque.

Quelles formules complètent ce tableau ?

Quelques formules évitent de chercher une hauteur ou une diagonale :

• Diagonale d’un carré de côté $a$ : $a\sqrt{2}$. Diagonale d’un rectangle : $\sqrt{L^2 + l^2}$, par le théorème de Pythagore.
• Côté d’un losange connaissant ses diagonales : $a = \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2}$, car les diagonales se coupent à angle droit en leur milieu.
• Triangle équilatéral de côté $a$ : hauteur $\frac{\sqrt{3}}{2}a$, aire $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$.
• Triangle connu par deux côtés et l’angle compris : $\mathcal{A} = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$ (voir sinus, cosinus et tangente). De même, un parallélogramme de côtés $a$ et $b$ formant un angle $\theta$ a pour aire $ab\sin\theta$.
• Triangle connu par ses trois côtés : formule de Héron, $\mathcal{A} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, où $p = \frac{a + b + c}{2}$ est le demi-périmètre.

Dans un triangle, la hauteur n’est pas un côté (sauf dans un triangle rectangle) : c’est la distance du sommet à la droite qui porte la base. Dans un triangle qui a un angle obtus, son pied peut tomber hors de la base.

Quelle est la formule de l’aire d’un secteur et de la longueur d’un arc ?

Un secteur angulaire est une « part de tarte » de rayon $r$ et d’angle au centre $\theta$. Tout est proportionnel à l’angle : le secteur est la fraction $\frac{\theta}{2\pi}$ du disque.

Exemple. Un secteur de rayon 5 cm et d’angle 72° (un cinquième de tour) a pour aire $\frac{\pi \times 25 \times 72}{360} = 5\pi \approx 15{,}71$ cm², et son arc mesure $\frac{\pi \times 5 \times 72}{180} = 2\pi \approx 6{,}28$ cm.

Et le périmètre d’une ellipse ?

L’aire d’une ellipse de demi-axes $a$ et $b$ vaut exactement $\pi a b$ ; avec $a = b = r$, on retrouve l’aire du disque. Son périmètre, en revanche, n’a pas de formule exacte avec les fonctions usuelles : il s’exprime par une intégrale dite elliptique (MathWorld (nouvel onglet)). Une approximation due à Ramanujan est très précise :

Quand le petit demi-axe dépasse le tiers du grand ($b \geq a/3$), l’écart avec la valeur exacte reste inférieur à 0,01 %.

Quelles sont les formules de volume des solides ?

Le volume se mesure en unités de volume (cm³, m³) ; l’aire latérale est celle des faces ou de la surface courbe, sans les bases ; l’aire totale y ajoute les bases.

Notations : $\mathcal{B}$ est l’aire de la base, $P_{\mathcal{B}}$ son périmètre, $h$ la hauteur (distance perpendiculaire entre les bases, ou du sommet au plan de la base), $r$ le rayon. Pour le cône, $g = \sqrt{r^2 + h^2}$ est la génératrice (la longueur du bord, du sommet au cercle de base). Pour une pyramide régulière, $a_p$ est l’apothème, la hauteur d’une face latérale issue du sommet ; pour une base carrée de côté $c$, $a_p = \sqrt{h^2 + (c/2)^2}$.

D’autres longueurs utiles : la diagonale d’un cube vaut $a\sqrt{3}$, celle d’un pavé droit $\sqrt{L^2 + l^2 + h^2}$.

Les formules de volume du prisme et de la pyramide restent vraies pour un prisme penché ou une pyramide dont le sommet n’est pas au-dessus du centre, à condition de prendre la hauteur perpendiculaire à la base. La page du volume de la sphère raconte comment Archimède a obtenu $\frac{4}{3}\pi r^3$, et propose une calculatrice.

Pourquoi divise-t-on par 3 pour le cône et la pyramide ?

Coupons un solide en tranches horizontales très fines. Dans un prisme ou un cylindre, toutes les tranches ont la même aire que la base, d’où $\mathcal{B} \times h$. Dans une pyramide ou un cône, la tranche à mi-hauteur est une réduction de la base de rapport $\frac{1}{2}$, donc d’aire $\frac{1}{4}$ de la base ; plus généralement, à la hauteur $z$, l’aire vaut $\mathcal{B}\left(1 - \frac{z}{h}\right)^2$. En additionnant ces tranches, c’est-à-dire en intégrant, on obtient

Deux solides dont toutes les tranches à la même hauteur ont la même aire ont le même volume : c’est le principe de Cavalieri (nouvel onglet). On peut aussi le voir sans calcul : un cube se découpe en trois pyramides identiques à base carrée, qui ont pour sommet commun l’un des coins du cube ; chacune a donc le tiers de son volume.

Un exemple : cylindre, cône et boule de même rayon

Prenons un rayon $r = 4$ cm et une hauteur $h = 10$ cm.

• Cylindre : $V = \pi \times 4^2 \times 10 = 160\pi \approx 502{,}65$ cm³, soit environ 0,503 L. Aire latérale : $2\pi \times 4 \times 10 = 80\pi \approx 251{,}33$ cm² ; aire totale : $80\pi + 32\pi = 112\pi \approx 351{,}86$ cm².
• Cône de même base et de même hauteur : $V = \frac{160\pi}{3} \approx 167{,}55$ cm³, le tiers du cylindre. Sa génératrice vaut $g = \sqrt{16 + 100} = \sqrt{116} \approx 10{,}77$ cm, et son aire latérale $\pi \times 4 \times \sqrt{116} \approx 135{,}34$ cm².
• Boule de rayon 4 cm : $V = \frac{4}{3}\pi \times 64 = \frac{256\pi}{3} \approx 268{,}08$ cm³ ; la sphère a pour aire $4\pi \times 16 = 64\pi \approx 201{,}06$ cm².

Le cylindre dans lequel cette boule tient tout juste a une hauteur de 8 cm, donc un volume de $128\pi \approx 402{,}12$ cm³ : la boule en occupe exactement les deux tiers. C’est la figure qu’Archimède aurait demandé de graver sur sa tombe.

Comment convertir les unités d’aire et de volume ?

Un mètre vaut 100 cm, donc un mètre carré vaut $100 \times 100$ cm² et un mètre cube $100 \times 100 \times 100$ cm³ : on élève le facteur de conversion au carré pour les aires, au cube pour les volumes.

Le litre n’est pas une unité du Système international, mais son usage avec lui est accepté ; il vaut exactement 1 dm³ (brochure du SI, BIPM (nouvel onglet)).

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes ?

• Confondre rayon et diamètre : les formules du disque, du cylindre, du cône et de la boule utilisent le rayon, la moitié du diamètre.
• Prendre un côté oblique pour la hauteur dans un triangle, un parallélogramme, un trapèze, une pyramide ou un cône : la hauteur se mesure toujours perpendiculairement.
• Oublier le 3 du cône et de la pyramide, ou le $\frac{4}{3}$ de la boule.
• Mélanger les unités : des centimètres et des mètres dans un même calcul donnent un résultat faux d’un facteur 100 (ou 10 000 pour une aire).
• Confondre aire latérale et aire totale : un cylindre ouvert (un tuyau) n’a que son aire latérale.

Comment ces formules ont-elles été vérifiées ?

Pour éviter toute coquille, chaque ligne de ce formulaire a été confrontée par un programme à un calcul indépendant, sur des dimensions tirées au hasard : les aires en comptant les points d’une grille très fine qui tombent dans la figure, les périmètres et les aires de surfaces courbes en les remplaçant par des polygones ou des maillages de plusieurs millions de triangles, les volumes en comptant de petits cubes et en intégrant les sections. Tous les résultats concordent avec les formules.

Pour aller plus loin

• Les angles et les rapports de longueurs du triangle sont réunis dans le formulaire de trigonométrie.
• Le passage de l’aire au volume par des tranches est le cœur du théorème fondamental de l’analyse ; les primitives utiles sont dans le tableau des dérivées et primitives.
• Le théorème de Pythagore donne toutes les diagonales et la génératrice du cône.
• Les dessins du disque, de la sphère et du triangle existent en affiche dans nos affiches mathématiques, en style Bauhaus, Papier, Nuit ou Tableau noir : un choix fréquent pour un cadeau de prof de maths.

Pour en savoir plus : l’article Aire (géométrie) (nouvel onglet) de Wikipédia, et les pages Cone (nouvel onglet) et Sphere (nouvel onglet) de MathWorld.